ஒற்றை எண்கள் (Odd Numbers) - முழுமையான வழிகாட்டி
கணிதத்தில் எண்களைப் புரிந்துகொள்வது அடிப்படைத் தேவையாகும். இதில் ஒற்றை எண்கள் என்பது மிக முக்கியமான ஒரு பிரிவாகும். ஒரு எண்ணை இரண்டால் வகுக்கும்போது, மீதி ஒன்று கிடைத்தால், அது ஒற்றை எண் எனப்படும். இந்தத் தொகுப்பில் ஒற்றை எண்களின் பண்புகள், அவற்றின் பயன்பாடுகள் மற்றும் போட்டித் தேர்வுகளில் கேட்கப்படும் வினாக்களுக்கான குறுக்கு வழிகளை விரிவாகக் காண்போம்.
1. ஒற்றை எண்களின் வரையறை
எந்தவொரு எண்ணின் ஒன்றாம் இடத்தில் (Units place) 1, 3, 5, 7, அல்லது 9 ஆகிய எண்கள் அமைந்திருந்தால், அந்த எண் ஒற்றை எண் எனப்படும். உதாரணமாக, 13, 27, 145, 999 போன்றவை ஒற்றை எண்களாகும். இவை இரண்டால் முழுமையாக வகுபடாத எண்கள் என்பதால், இவற்றை 'இரட்டைப்படை அல்லாத எண்கள்' என்றும் அழைக்கலாம்.
நினைவில் கொள்ளும் குறுக்கு வழி (Shortcut):
எந்தவொரு பெரிய எண்ணையும் பார்த்தவுடன் அது ஒற்றை எண்ணா என்று கண்டறிய, அதன் கடைசி இலக்கத்தை மட்டும் கவனியுங்கள். கடைசி எண் 1, 3, 5, 7, 9 இல் முடிந்தால் அது ஒற்றை எண்.
எ.கா: 58743 -> கடைசி எண் 3, எனவே இது ஒற்றை எண்.
2. ஒற்றை எண்களின் முக்கிய பண்புகள்
ஒற்றை எண்களின் செயல்பாடுகள் கணிதத்தில் சில குறிப்பிட்ட விதிகளுக்கு உட்பட்டவை. இவை கூட்டல், கழித்தல் மற்றும் பெருக்கலில் எவ்வாறு செயல்படுகின்றன என்பதைப் பார்ப்போம்:
| செயல்பாடு | விதி | உதாரணம் |
|---|---|---|
| ஒற்றை + ஒற்றை | இரட்டை எண் | 3 + 5 = 8 |
| ஒற்றை + இரட்டை | ஒற்றை எண் | 3 + 4 = 7 |
| ஒற்றை × ஒற்றை | ஒற்றை எண் | 3 × 5 = 15 |
| ஒற்றை × இரட்டை | இரட்டை எண் | 3 × 2 = 6 |
3. முதல் 'n' ஒற்றை எண்களின் கூடுதல்
போட்டித் தேர்வுகளில் அடிக்கடி கேட்கப்படும் கேள்வி இது. முதல் 'n' ஒற்றை எண்களின் கூடுதல் காணும் சூத்திரம் மிகவும் எளிதானது. இதை மனப்பாடம் செய்யத் தேவையில்லை, தர்க்கரீதியாகப் புரிந்துகொள்ளலாம்.
சூத்திரம்:
முதல் n ஒற்றை எண்களின் கூடுதல் = n2
விளக்கம்: முதல் 3 ஒற்றை எண்கள் 1, 3, 5. இவற்றின் கூடுதல் 1 + 3 + 5 = 9. சூத்திரப்படி n=3 என்றால், 32 = 9. விடை சரியாக வருகிறது.
பயிற்சி வினா:
முதல் 20 ஒற்றை எண்களின் கூடுதல் என்ன?
தீர்வு: n = 20, சூத்திரம் n2 = 20 × 20 = 400.
4. எண்களுக்கு இடைப்பட்ட ஒற்றை எண்களைக் கண்டறிதல்
இரு எண்களுக்கு இடைப்பட்ட ஒற்றை எண்களின் எண்ணிக்கையைக் கண்டறிய ஒரு எளிய வழிமுறை உள்ளது. உதாரணமாக, 1 முதல் 50 வரை எத்தனை ஒற்றை எண்கள் உள்ளன?
இதற்கான வழி: (கடைசி ஒற்றை எண் - முதல் ஒற்றை எண்) / 2 + 1
இங்கே, (49 - 1) / 2 + 1 = 48 / 2 + 1 = 24 + 1 = 25 எண்கள்.
5. தொடர்ச்சியான ஒற்றை எண்கள்
தொடர்ச்சியான ஒற்றை எண்கள் என்றால், ஒவ்வொன்றுக்கும் இடையே 2 என்ற வித்தியாசம் இருக்கும். உதாரணமாக, x, x+2, x+4 போன்றவை தொடர்ச்சியான ஒற்றை எண்களாகும்.
முக்கிய குறிப்புகள்:
- எதிர்மறை எண்களிலும் ஒற்றை எண்கள் உண்டு (-1, -3, -5...).
- பூஜ்ஜியம் (0) ஒரு இரட்டை எண், ஒற்றை எண் அல்ல.
- எந்தவொரு ஒற்றை எண்ணின் வர்க்கமும் (Square) ஒரு ஒற்றை எண்ணாகவே இருக்கும் (எ.கா: 72 = 49).
- இரண்டு ஒற்றை எண்களின் வித்தியாசம் எப்போதும் இரட்டை எண்ணாகவே இருக்கும்.
6. போட்டித் தேர்வுக்கான மாதிரி வினாக்கள்
கேள்வி 1: 1 முதல் 100 வரை உள்ள ஒற்றை எண்களின் கூடுதல் என்ன?
தீர்வு: 1 முதல் 100 வரை 50 ஒற்றை எண்கள் உள்ளன. கூடுதல் = 502 = 2500.
கேள்வி 2: 101 முதல் 200 வரை எத்தனை ஒற்றை எண்கள் உள்ளன?
தீர்வு: 101, 103... 199. இது ஒரு கூட்டுத் தொடர் வரிசை. n = [(199 - 101) / 2] + 1 = [98 / 2] + 1 = 49 + 1 = 50 எண்கள்.
7. முடிவுரை
ஒற்றை எண்கள் என்பது கணிதத்தின் மிக அடிப்படையான பாடம். ஆனால், இதுவே பல சிக்கலான எண் தொடர் (Number Series) வினாக்களுக்கு அடித்தளமாக அமைகிறது. மேற்சொன்ன சூத்திரங்களையும் பண்புகளையும் முறையாகப் பயிற்சி செய்தால், தேர்வுகளில் வேகமாகவும் துல்லியமாகவும் விடையளிக்க முடியும்.
சுருக்கமான நினைவூட்டல் அட்டவணை:
| தன்மை | விதி |
|---|---|
| கூடுதல் (முதல் n) | n2 |
| வகுபடும் தன்மை | 2-ஆல் வகுபடாது |
| முடிவு இலக்கம் | 1, 3, 5, 7, 9 |
இந்தக் குறிப்புகளைத் தொடர்ந்து பயிற்சி செய்யுங்கள். கணிதத்தில் வெற்றி பெறத் தொடர் பயிற்சியே சிறந்த வழி.