முழுக்களின் பெருக்கல் மற்றும் வகுத்தல் (Multiplication and Division of Integers)
கணிதத்தின் அடிப்படைத் தூண்களில் ஒன்று முழுக்கள் ஆகும். மிகை எண்கள், குறை எண்கள் மற்றும் சுழியம் ஆகியவற்றின் தொகுப்பே முழுக்கள் (Integers) எனப்படும். முழுக்களின் கூட்டல் மற்றும் கழித்தல் முறைகளைத் தாண்டி, பெருக்கல் மற்றும் வகுத்தல் செயல்பாடுகள் மிகவும் முக்கியமானவை. போட்டித் தேர்வுகளில் இப்பாடப்பிரிவிலிருந்து கேட்கப்படும் வினாக்களைச் சரியாக அணுக, நாம் சில அடிப்படை விதிகளைத் தெளிவாகப் புரிந்துகொள்ள வேண்டும்.
முழுக்களின் பெருக்கல் (Multiplication of Integers)
முழுக்களின் பெருக்கலைப் பொறுத்தவரை, எண்களின் குறியீடுகள் (Signs) மிக முக்கியப் பங்கு வகிக்கின்றன. பெருக்கல் என்பது ஒரு எண்ணை மீண்டும் மீண்டும் கூட்டுவதற்குச் சமம். இதில் நான்கு முக்கிய விதிகள் உள்ளன.
பெருக்கலுக்கான அடிப்படை விதிகள்:
- மிகை எண் × மிகை எண் = மிகை எண் (+ × + = +)
- குறை எண் × குறை எண் = மிகை எண் (- × - = +)
- மிகை எண் × குறை எண் = குறை எண் (+ × - = -)
- குறை எண் × மிகை எண் = குறை எண் (- × + = -)
ஒரே மாதிரியான குறியீடுகளைப் பெருக்கும்போது விடை எப்போதும் மிகை எண்ணாகவே இருக்கும். வெவ்வேறு குறியீடுகளைப் பெருக்கும்போது விடை எப்போதும் குறை எண்ணாகவே இருக்கும். இதனை "நண்பனின் நண்பன் நண்பன், எதிரியின் எதிரி நண்பன்" என்ற தர்க்கத்தில் புரிந்துகொள்ளலாம்.
உதாரணமாக, 5 × 4 = 20. அதேபோல், (-5) × (-4) = 20. இங்கு இரண்டு குறை எண்களைப் பெருக்கும்போது விடை மிகை எண்ணாக மாறுகிறது. ஆனால், (-5) × 4 = -20 மற்றும் 5 × (-4) = -20 ஆகும்.
முழுக்களின் வகுத்தல் (Division of Integers)
வகுத்தல் என்பது பெருக்கலின் தலைகீழ் செயல்பாடு ஆகும். பெருக்கலுக்குப் பயன்படுத்திய அதே குறியீட்டு விதிகள் வகுத்தலுக்கும் பொருந்தும். ஒரு முழு எண்ணை மற்றொரு முழு எண்ணால் வகுக்கும்போது, அவற்றின் குறியீடுகளைக் கவனிக்க வேண்டும்.
வகுத்தலுக்கான அடிப்படை விதிகள்:
- மிகை எண் ÷ மிகை எண் = மிகை எண் (+ ÷ + = +)
- குறை எண் ÷ குறை எண் = மிகை எண் (- ÷ - = +)
- மிகை எண் ÷ குறை எண் = குறை எண் (+ ÷ - = -)
- குறை எண் ÷ மிகை எண் = குறை எண் (- ÷ + = -)
எடுத்துக்காட்டாக, 20 ÷ 5 = 4. அதேபோல், (-20) ÷ (-5) = 4. ஆனால், 20 ÷ (-5) = -4 மற்றும் (-20) ÷ 5 = -4 ஆகும். சுழியத்தை எந்த எண்ணால் வகுத்தாலும் விடை சுழியமே (0 ÷ a = 0). ஆனால், எந்த ஒரு எண்ணையும் சுழியத்தால் வகுப்பது வரையறுக்கப்படவில்லை (a ÷ 0 = Undefined).
பெருக்கல் மற்றும் வகுத்தலின் பண்புகள்
முழுக்களின் பெருக்கலில் சில முக்கியமான பண்புகள் உள்ளன, அவை கணக்கீடுகளை எளிதாக்க உதவுகின்றன:
| பண்பு | விளக்கம் |
|---|---|
| அடைவுப் பண்பு | இரு முழுக்களைப் பெருக்கினால் கிடைக்கும் விடையும் ஒரு முழுவே. |
| பரிமாற்றுப் பண்பு | a × b = b × a (எ.கா: 5 × 3 = 3 × 5) |
| சேர்ப்புப் பண்பு | (a × b) × c = a × (b × c) |
| பங்கீட்டுப் பண்பு | a × (b + c) = (a × b) + (a × c) |
முக்கியமான குறிப்புகள் மற்றும் கவனிக்க வேண்டியவை
போட்டித் தேர்வுகளில், பல எண்களைக் கொண்ட தொடர் பெருக்கல் வினாக்கள் கேட்கப்படும். அத்தகைய நேரங்களில் குறை எண்களின் எண்ணிக்கையைக் கணக்கிடுவது நேரத்தைச் சேமிக்கும்.
ஒரு பெருக்கல் தொடரில் குறை எண்களின் எண்ணிக்கை ஒற்றைப்படையாக (Odd number) இருந்தால், இறுதி விடை குறை எண்ணாக இருக்கும். குறை எண்களின் எண்ணிக்கை இரட்டைப்படையாக (Even number) இருந்தால், இறுதி விடை மிகை எண்ணாக இருக்கும்.
உதாரணமாக, (-2) × (-3) × (-4) = -24. இங்கு மூன்று குறை எண்கள் உள்ளன (ஒற்றைப்படை), எனவே விடை குறை எண்ணாக (-24) வந்துள்ளது. (-2) × (-3) × (-4) × (-1) = 24. இங்கு நான்கு குறை எண்கள் உள்ளன (இரட்டைப்படை), எனவே விடை மிகை எண்ணாக (24) வந்துள்ளது.
பயிற்சி வினாக்கள் மற்றும் தீர்வுகளின் தர்க்கம்
கேள்வி: (-15) × 0 × (-20) இன் மதிப்பு என்ன?
தர்க்கம்: சுழியத்துடன் எந்த எண்ணைப் பெருக்கினாலும் விடை 0 தான். எனவே, கணக்கீடு செய்யாமலேயே விடை 0 எனத் தீர்மானிக்கலாம்.
கேள்வி: (-100) ÷ 20 இன் மதிப்பு என்ன?
தர்க்கம்: 100-ஐ 20-ஆல் வகுத்தால் 5. ஒரு குறை எண்ணை மிகை எண்ணால் வகுக்கும்போது விடை குறை எண்ணாக இருக்க வேண்டும். எனவே, விடை -5.
முடிவுரை
முழுக்களின் பெருக்கல் மற்றும் வகுத்தல் என்பது கணிதத்தின் மிக அடிப்படையான பகுதி. இருப்பினும், குறியீடுகளில் ஏற்படும் சிறு தவறுகள் விடையையே மாற்றிவிடும். எனவே, மேற்கூறிய விதிகளை மனப்பாடம் செய்யாமல், உதாரணங்களுடன் பயிற்சி செய்வதன் மூலம் போட்டித் தேர்வுகளில் முழு மதிப்பெண்களைப் பெற முடியும். குறிப்பாக, அடைப்புக்குறிகளை நீக்கும்போதும், குறியீடுகளைக் கையாளும்போதும் கூடுதல் கவனம் தேவை.
சுருக்கமான நினைவூட்டல் பட்டியல்:
- பெருக்கலில் ஒரே குறி = மிகை
- பெருக்கலில் வெவ்வேறு குறி = குறை
- வகுத்தலில் ஒரே குறி = மிகை
- வகுத்தலில் வெவ்வேறு குறி = குறை
- சுழியத்தால் வகுத்தல் இயலாது.
- 1-ஆல் பெருக்கினால் அதே எண் கிடைக்கும்.
தொடர்ச்சியான பயிற்சிகள் மூலம், இப்பாடப்பிரிவில் உள்ள நுணுக்கங்களை நீங்கள் எளிதாகக் கையாள முடியும். கணிதத்தில் வேகம் மற்றும் துல்லியம் (Speed and Accuracy) ஆகிய இரண்டையும் வளர்த்துக்கொள்ள, தினசரி அடிப்படை கணக்கீடுகளைப் பயிற்சி செய்யுங்கள்.