கூட்டல், கழித்தல், பெருக்கல் மற்றும் வகுத்தல்

கணிதத்தின் நான்கு அடிப்படைச் செயல்களான கூட்டல், கழித்தல், பெருக்கல் மற்றும் வகுத்தல் ஆகியவை எண்கணிதத்தின் தூண்களாகும். இவை அன்றாட வாழ்வில் மட்டுமல்லாமல், சிக்கலான கணிதச் சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதற்கும் அடிப்படையாக அமைகின்றன. இந்த நான்கு செயல்களையும் நாம் விரிவாகக் காண்போம்.

1. கூட்டல் (Addition)

கூட்டல் என்பது இரண்டு அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட எண்களை ஒன்றாகச் சேர்த்து அவற்றின் மொத்த மதிப்பைக் கண்டறியும் செயலாகும். கூட்டலில் ஈடுபடும் எண்கள் 'கூட்டற்படு எண்கள்' (addends) என்றும், கிடைக்கும் முடிவு 'கூட்டுத்தொகை' (sum) என்றும் அழைக்கப்படுகிறது. கூட்டல் செயலைக் குறிக்க '+' குறியீடு பயன்படுத்தப்படுகிறது.

கூட்டலின் பண்புகள்:

• சேர்ப்புப் பண்பு (Associative Property): மூன்று அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட எண்களைக் கூட்டும் போது, எண்களைக் கூட்டும் வரிசை கூட்டுத்தொகையை மாற்றுவதில்லை. (a + b) + c = a + (b + c)
• பரிமாற்றுப் பண்பு (Commutative Property): இரண்டு எண்களைக் கூட்டும் போது, எண்களின் வரிசை கூட்டுத்தொகையை மாற்றுவதில்லை. a + b = b + a
• சமனி உறுப்புப் பண்பு (Identity Property): எந்த எண்ணுடன் பூஜ்ஜியத்தைக் கூட்டினாலும் அதே எண் கிடைக்கும். a + 0 = a

கூட்டல் முறை:

எண்களைக் கூட்டும் போது, ஒன்றுகள், பத்துகள், நூறுகள் என இடமதிப்புக்கு ஏற்ப எண்களை ஒன்றன் கீழ் ஒன்றாக எழுதி, வலதுபுறத்தில் இருந்து இடதுபுறமாக கூட்ட வேண்டும். தேவைப்பட்டால், மீதமுள்ள எண்ணை அடுத்த இடமதிப்புடன் கூட்ட வேண்டும் (carry over).

எடுத்துக்காட்டு:

4567 மற்றும் 2345 ஆகிய எண்களைக் கூட்டுக.

     4567
+   2345
-------
     6912

விளக்கம்:

• ஒன்றுகள்: 7 + 5 = 12. 2 ஐ ஒன்றுகள் இடத்தில் எழுதி, 1 ஐ பத்துகள் இடத்திற்கு மீதிக் கடனாக (carry over) கொண்டு செல்லவும்.
• பத்துகள்: 6 + 4 + 1 (மீதி) = 11. 1 ஐ பத்துகள் இடத்தில் எழுதி, 1 ஐ நூறுகள் இடத்திற்கு மீதிக் கடனாக கொண்டு செல்லவும்.
• நூறுகள்: 5 + 3 + 1 (மீதி) = 9. 9 ஐ நூறுகள் இடத்தில் எழுதவும்.
• ஆயிரங்கள்: 4 + 2 = 6. 6 ஐ ஆயிரங்கள் இடத்தில் எழுதவும்.
• எனவே, கூட்டுத்தொகை 6912 ஆகும்.

2. கழித்தல் (Subtraction)

கழித்தல் என்பது ஒரு எண்ணிலிருந்து மற்றொரு எண்ணைக் குறைத்து, மீதமுள்ள மதிப்பைக் கண்டறியும் செயலாகும். பெரிய எண்ணிலிருந்து சிறிய எண்ணைக் கழிப்போம். கழித்தலில், பெரிய எண் 'மைனூயெண்டு' (minuend), கழிக்கப்படும் எண் 'மைனூயெண்ட்' (subtrahend), மற்றும் கிடைக்கும் முடிவு 'வித்தியாசம்' (difference) எனப்படும். கழித்தல் செயலைக் குறிக்க '-' குறியீடு பயன்படுத்தப்படுகிறது.

கழித்தல் முறை:

கூட்டலைப் போலவே, கழித்தலையும் இடமதிப்புக்கு ஏற்ப எண்களை ஒன்றன் கீழ் ஒன்றாக எழுதி, வலதுபுறத்தில் இருந்து இடதுபுறமாக செய்ய வேண்டும். ஒரு இடமதிப்பில் உள்ள இலக்கம் சிறியதாக இருந்தால், இடதுபுறத்தில் உள்ள அடுத்த இடமதிப்பிலிருந்து 'கடன்' (borrow) வாங்க வேண்டும்.

எடுத்துக்காட்டு:

8732 இலிருந்து 4519 ஐக் கழிக்கவும்.

     8732
-   4519
-------
     4213

விளக்கம்:

• ஒன்றுகள்: 2 இலிருந்து 9 ஐக் கழிக்க முடியாது. எனவே, பத்துகள் இடத்திலிருந்து 1 ஐ கடன் வாங்குகிறோம். பத்துகள் இடத்தில் 3 க்கு பதிலாக 2 ஆகவும், ஒன்றுகள் இடத்தில் 2 க்கு பதிலாக 12 ஆகவும் மாறும். 12 - 9 = 3. 3 ஐ ஒன்றுகள் இடத்தில் எழுதவும்.
• பத்துகள்: 2 இலிருந்து 1 ஐக் கழிக்கவும். 2 - 1 = 1. 1 ஐ பத்துகள் இடத்தில் எழுதவும்.
• நூறுகள்: 7 இலிருந்து 5 ஐக் கழிக்கவும். 7 - 5 = 2. 2 ஐ நூறுகள் இடத்தில் எழுதவும்.
• ஆயிரங்கள்: 8 இலிருந்து 4 ஐக் கழிக்கவும். 8 - 4 = 4. 4 ஐ ஆயிரங்கள் இடத்தில் எழுதவும்.
• எனவே, வித்தியாசம் 4213 ஆகும்.

3. பெருக்கல் (Multiplication)

பெருக்கல் என்பது ஒரே எண்ணை மீண்டும் மீண்டும் கூட்டுவதற்குப் பதிலாக, அதைச் சுருக்கமாகச் செய்யும் செயலாகும். இது கூட்டலின் ஒரு சிறப்பு வகை. பெருக்கலில் ஈடுபடும் எண்கள் 'காரணிகள்' (factors) என்றும், கிடைக்கும் முடிவு 'ஈவு' (product) என்றும் அழைக்கப்படுகிறது. பெருக்கல் செயலைக் குறிக்க '×' அல்லது '*' குறியீடு பயன்படுத்தப்படுகிறது.

பெருக்கலின் பண்புகள்:

• சேர்ப்புப் பண்பு (Associative Property): (a × b) × c = a × (b × c)
• பரிமாற்றுப் பண்பு (Commutative Property): a × b = b × a
• சமனி உறுப்புப் பண்பு (Identity Property): எந்த எண்ணுடன் 1 ஐப் பெருக்கினாலும் அதே எண் கிடைக்கும். a × 1 = a
• பூஜ்ஜியப் பண்பு (Zero Property): எந்த எண்ணுடன் பூஜ்ஜியத்தைப் பெருக்கினாலும் பூஜ்ஜியம் கிடைக்கும். a × 0 = 0
• பங்கீட்டுப் பண்பு (Distributive Property): a × (b + c) = (a × b) + (a × c)

பெருக்கல் முறை:

இரண்டு எண்களைப் பெருக்கும்போது, சிறிய எண்ணின் இலக்கங்களைக் கொண்டு பெரிய எண்ணின் ஒவ்வொரு இலக்கத்தையும் வலமிருந்து இடமாகப் பெருக்க வேண்டும். ஒவ்வொரு பெருக்கலின் முடிவையும் தனித்தனி வரிகளில் எழுதி, இடமதிப்புக்கு ஏற்ப நகர்த்தி, இறுதியாக அவற்றைக் கூட்ட வேண்டும்.

எடுத்துக்காட்டு:

345 ஐ 23 ஆல் பெருக்கவும்.

     345
×    23
-------
     1035    (345 × 3)
  6900    (345 × 20)
-------
  7935

விளக்கம்:

• முதலில், 345 ஐ 3 ஆல் பெருக்கவும்: 345 × 3 = 1035.
• அடுத்து, 345 ஐ 20 ஆல் பெருக்கவும் (2 இன் இடமதிப்பு பத்துகள் என்பதால்): 345 × 2 = 690. இதை 6900 என எழுதவும்.
• இறுதியாக, கிடைத்த இரண்டு முடிவுகளையும் கூட்டவும்: 1035 + 6900 = 7935.
• எனவே, ஈவு 7935 ஆகும்.

4. வகுத்தல் (Division)

வகுத்தல் என்பது ஒரு எண்ணை சமமான பகுதிகளாகப் பிரிக்கும் அல்லது ஒரு எண்ணில் மற்றொரு எண் எத்தனை முறை உள்ளது என்பதைக் கண்டறியும் செயலாகும். வகுத்தலில், பிரிக்கப்படும் எண் 'வகுபடு எண்' (dividend), வகுக்கும் எண் 'வகுக்கும் எண்' (divisor), கிடைக்கும் முடிவு 'ஈவு' (quotient), மற்றும் மீதமுள்ள எண் 'மீதி' (remainder) எனப்படும். வகுத்தல் செயலைக் குறிக்க '÷' அல்லது '/' குறியீடு பயன்படுத்தப்படுகிறது.

தொடர்பு: வகுபடு எண் = (வகுக்கும் எண் × ஈவு) + மீதி

வகுத்தல் முறை (நீள் வகுத்தல்):

நீள் வகுத்தல் என்பது பெரிய எண்களை வகுக்கப் பயன்படும் ஒரு முறையாகும். இதில் வகுபடு எண்ணை வகுக்கும் எண்ணால் படிப்படியாக வகுத்து, ஈவு மற்றும் மீதியைக் கண்டறியலாம்.

எடுத்துக்காட்டு:

7935 ஐ 23 ஆல் வகுக்கவும்.

       345
     _______
23 |   7935
    - 69
     ----
       103
      - 92
       ---
        115
        -115
        ----
           0

விளக்கம்:

• வகுபடு எண் 7935, வகுக்கும் எண் 23.
• 79 இல் 23 எத்தனை முறை உள்ளது? 23 × 3 = 69. 79 - 69 = 10.
• அடுத்த இலக்கமான 3 ஐ இறக்கவும். இப்போது எண் 103.
• 103 இல் 23 எத்தனை முறை உள்ளது? 23 × 4 = 92. 103 - 92 = 11.
• அடுத்த இலக்கமான 5 ஐ இறக்கவும். இப்போது எண் 115.
• 115 இல் 23 எத்தனை முறை உள்ளது? 23 × 5 = 115. 115 - 115 = 0.
• மீதி 0. ஈவு 345.

இந்த நான்கு அடிப்படைச் செயல்களும் கணிதத்தின் அடித்தளமாகும். இவற்றில் தேர்ச்சி பெறுவது, அடுத்தடுத்த கணிதப் பாடங்களை எளிதாகப் புரிந்துகொள்ள உதவும்.

அடிப்படைச் செயல்களின் சுருக்கம்

செயல்	குறியீடு	நோக்கம்	எடுத்துக்காட்டு
கூட்டல்	+	சேர்த்தல், மொத்தம் காணுதல்	5 + 3 = 8
கழித்தல்	-	குறைத்தல், வித்தியாசம் காணுதல்	10 - 4 = 6
பெருக்கல்	×	மீண்டும் வரும் கூட்டல், சுருக்கமான பெருக்கல்	4 × 3 = 12 (அதாவது 4 + 4 + 4)
வகுத்தல்	÷	சமமாகப் பிரித்தல், எத்தனை முறை உள்ளது என காணுதல்	12 ÷ 3 = 4 (அதாவது 12 இல் 3, 4 முறை உள்ளது)