அடுக்குகள் மற்றும் அடிமானங்கள் (Exponents and Bases)
கணிதத்தில், பெருக்கல் என்பது ஒரே எண்ணை மீண்டும் மீண்டும் கூட்டுவதைக் குறிப்பது போல, அடுக்கு என்பது ஒரே எண்ணை மீண்டும் மீண்டும் பெருக்குவதைக் குறிக்கிறது. ஒரு எண்ணை எத்தனை முறை பெருக்க வேண்டும் என்பதை அதன் 'அடுக்கு' குறிக்கிறது. இது மிகப்பெரிய எண்களை மிகச் சுருக்கமாக எழுத உதவுகிறது.
அடுக்கு மற்றும் அடிமானத்தின் அடிப்படை அமைப்பு
ஒரு எண் an என்று இருந்தால், அதில் 'a' என்பது அடிமானம் (Base) என்றும், 'n' என்பது அடுக்கு (Exponent/Power) என்றும் அழைக்கப்படுகிறது. இதன் பொருள், 'a' என்ற எண்ணை 'n' முறை பெருக்க வேண்டும் என்பதாகும்.
அடுக்கு = எத்தனை முறை? (Count)
அடிமானம் = எந்த எண்? (Number)
உதாரணம்: 23 = 2 × 2 × 2 = 8
அடுக்குகளின் முக்கிய விதிகள் (Laws of Exponents)
அடுக்குகள் சார்ந்த கணக்குகளை எளிதாகத் தீர்க்க கீழே உள்ள விதிகள் மிக அவசியம். இவற்றைத் தெளிவாகப் புரிந்துகொண்டால் எந்தக் கடினமான கணக்கையும் எளிதில் போடலாம்.
1. பெருக்கல் விதி (Product Rule)
அடிமானங்கள் சமமாக இருக்கும்போது, அடுக்குகளைக் கூட்ட வேண்டும்.
விதி: am × an = am+n
உதாரணம்: 32 × 34 = 32+4 = 36 = 729
2. வகுத்தல் விதி (Quotient Rule)
அடிமானங்கள் சமமாக இருக்கும்போது, அடுக்குகளைக் கழிக்க வேண்டும்.
விதி: am / an = am-n
உதாரணம்: 56 / 54 = 56-4 = 52 = 25
3. அடுக்கு அடுக்கு விதி (Power of a Power Rule)
ஒரு அடுக்கின் மீது மற்றொரு அடுக்கு இருக்கும்போது, அடுக்குகளைப் பெருக்க வேண்டும்.
விதி: (am)n = am×n
உதாரணம்: (23)2 = 23×2 = 26 = 64
4. பூஜ்ஜிய அடுக்கு விதி (Zero Exponent Rule)
எந்தவொரு எண்ணின் அடுக்கிலும் பூஜ்ஜியம் (0) இருந்தால், அதன் மதிப்பு 1 ஆகும் (a ≠ 0).
விதி: a0 = 1
உதாரணம்: 1000 = 1, 50 = 1
5. எதிர்மறை அடுக்கு விதி (Negative Exponent Rule)
அடுக்கு எதிர்மறையாக இருந்தால், அதை தலைகீழாக மாற்றினால் அடுக்கு நேர்மறையாக மாறும்.
விதி: a-n = 1 / an
உதாரணம்: 2-3 = 1 / 23 = 1 / 8
அடுக்குகளின் பயன்பாடுகள்
அடுக்குகள் அறிவியல் மற்றும் பொறியியல் துறையில் மிக முக்கிய பங்கு வகிக்கின்றன. பெரிய கிரகங்களின் தூரம், அணுவின் அளவு, கணினி மெமரி (GB, TB) என அனைத்திலும் அடுக்குகள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன.
| எண் | அடுக்கு வடிவம் | விரிவாக்கம் | மதிப்பு |
|---|---|---|---|
| 2 | 25 | 2×2×2×2×2 | 32 |
| 3 | 34 | 3×3×3×3 | 81 |
| 10 | 103 | 10×10×10 | 1000 |
முக்கிய குறிப்புகள் மற்றும் தந்திரங்கள்
- எந்த எண்ணின் அடுக்கிலும் 0 இருந்தால் விடை எப்போதும் 1 தான்.
- அடிமானம் 10 ஆக இருந்தால், அடுக்கு எத்தனை இருக்கிறதோ அத்தனை பூஜ்ஜியங்களை எண்ணின் பின்னால் சேர்க்கலாம். (உதாரணம்: 105 = 1,00,000)
- பின்னங்களின் அடுக்கு: (a/b)n = an / bn.
பயிற்சி கணக்குகள் (மாதிரி)
- சுருக்குக: (23 × 24) / 25
தீர்வு: (23+4) / 25 = 27 / 25 = 27-5 = 22 = 4. - மதிப்பு காண்க: (1/3)-2
தீர்வு: (3/1)2 = 32 = 9.
அறிவியல் குறியீடு (Scientific Notation)
மிகப்பெரிய அல்லது மிகச்சிறிய எண்களை 10-ன் அடுக்குகளாக எழுதுவதே அறிவியல் குறியீடு ஆகும். இது கணக்கீடுகளை எளிதாக்குகிறது.
உதாரணம்: 5,00,000 = 5 × 105
உதாரணம்: 0.00004 = 4 × 10-5
முடிவுரை
அடுக்குகள் மற்றும் அடிமானங்கள் என்பது அடிப்படை கணிதத்தின் மிக முக்கியமான பகுதி. மேலே கொடுக்கப்பட்டுள்ள விதிகளைப் பயிற்சி செய்வதன் மூலம், போட்டித் தேர்வுகளில் கேட்கப்படும் சுருக்குக (Simplification) வகை வினாக்களை மிக வேகமாக உங்களால் தீர்க்க முடியும். ஒவ்வொரு விதியையும் மனப்பாடம் செய்யாமல், உதாரணங்களோடு தொடர்புபடுத்திப் பழகுங்கள்.
போட்டித் தேர்வுகளில் பெரும்பாலும் (am)n மற்றும் am × an ஆகிய விதிகளுக்கிடையிலான குழப்பத்தைத் தூண்டும் வகையில் வினாக்கள் அமையும். எனவே, பெருக்கலை கூட்டலாகவும், அடுக்கின் அடுக்கைப் பெருக்கலாகவும் மாற்றும் விதியைத் தெளிவாகத் தெரிந்து வைத்திருப்பது வெற்றிக்கு உதவும்.