பின்னங்களின் பெருக்கல் மற்றும் வகுத்தல்
கணிதத்தில் பின்னங்கள் (Fractions) என்பது ஒரு முழுமையின் பகுதியைக் குறிக்கும் மதிப்பாகும். போட்டித் தேர்வுகளில் பின்னங்களின் கூட்டல், கழித்தல் ஆகியவற்றை விட, பெருக்கல் மற்றும் வகுத்தல் வினாக்கள் அதிக முக்கியத்துவம் பெறுகின்றன. இந்த பாடப்பகுதியில் பின்னங்களை எவ்வாறு துல்லியமாகவும் வேகமாகவும் பெருக்குவது மற்றும் வகுப்பது என்பதை விரிவாகக் காண்போம்.
1. பின்னங்களின் பெருக்கல் (Multiplication of Fractions)
பின்னங்களைப் பெருக்குவது மிகவும் எளிமையானது. இரண்டு அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட பின்னங்களைப் பெருக்கும்போது, தொகுதிகளை (Numerators) தனித்தனியாகவும், பகுதிகளை (Denominators) தனித்தனியாகவும் பெருக்கி விடையைப் பெற வேண்டும்.
பெருக்கல் விதி:
இரு பின்னங்கள் a/b மற்றும் c/d எனில், அவற்றின் பெருக்கற்பலன்:
a/b × c/d = (a × c) / (b × d)
பெருக்கும் முன், தொகுதியையும் பகுதியையும் பொதுவான காரணியால் சுருக்க முடிந்தால், முதலில் சுருக்கிவிடுங்கள். இது கணக்கீட்டை எளிதாக்கும். உதாரணமாக, 4/9 × 3/8 என்பதில், 4 மற்றும் 8 ஐ 4 ஆல் சுருக்கலாம், 3 மற்றும் 9 ஐ 3 ஆல் சுருக்கலாம்.
உதாரணம்:
5/7 × 3/4 = (5 × 3) / (7 × 4) = 15/28
2. கலப்பு பின்னங்களின் பெருக்கல்
கலப்பு பின்னங்களை (Mixed Fractions) பெருக்கும்போது, முதலில் அவற்றை தகா பின்னங்களாக (Improper Fractions) மாற்ற வேண்டும்.
படி 1: கலப்பு பின்னத்தை தகா பின்னமாக மாற்றவும். (உதாரணம்: 2 1/3 = (2×3+1)/3 = 7/3)
படி 2: தொகுதிகளைப் பெருக்கி புதிய தொகுதியையும், பகுதிகளைப் பெருக்கி புதிய பகுதியையும் எழுதவும்.
படி 3: விடையைச் சுருக்கி மீண்டும் கலப்பு பின்னமாக மாற்ற முடியுமா என்று பார்க்கவும்.
3. பின்னங்களின் வகுத்தல் (Division of Fractions)
பின்னங்களை வகுப்பது என்பது, வகுக்கும் பின்னத்தின் தலைகீழியை (Reciprocal) எடுத்து பெருக்குவதற்குச் சமமாகும்.
வகுத்தல் விதி:
a/b ÷ c/d = a/b × d/c = (a × d) / (b × c)
வகுக்கும் பின்னத்தை (இரண்டாவது பின்னம்) தலைகீழாக மாற்ற மறக்கக்கூடாது. முதல் பின்னம் அப்படியே இருக்கும்.
உதாரணம்:
2/3 ÷ 4/5 = 2/3 × 5/4 = 10/12 = 5/6
4. போட்டித் தேர்வுக்கான முக்கிய நுட்பங்கள்
தேர்வுகளில் நேரம் மிச்சப்படுத்த பின்வரும் முறைகளைப் பின்பற்றுங்கள்:
- சுருக்குதல் (Simplification): பெருக்கலுக்கு முன்பே குறுக்கு வரிசையில் சுருக்க முடிந்தால் செய்துவிடுங்கள்.
- முழு எண்கள்: ஒரு முழு எண்ணை பின்னத்தால் வகுக்க, அந்த முழு எண்ணை n/1 என்று கருதிக்கொள்ளுங்கள்.
- தொடர் பெருக்கல்: பல பின்னங்கள் பெருக்கலில் இருந்தால், அனைத்து தொகுதிகளையும் பெருக்கி, அனைத்து பகுதிகளையும் பெருக்கி பின் சுருக்கவும்.
5. பயிற்சி வினாக்கள் மற்றும் தீர்வுகள்
| வினா | தீர்வு முறை | விடை |
|---|---|---|
| 3/5 × 10/9 | (3/9) × (10/5) = 1/3 × 2 | 2/3 |
| 4/7 ÷ 8/21 | (4/7) × (21/8) = (1/1) × (3/2) | 3/2 (அல்லது) 1 1/2 |
6. பின்னங்கள் - அடிக்கடி கேட்கப்படும் கேள்விகள் (FAQs)
கேள்வி: பின்னங்களை வகுக்கும்போது ஏன் தலைகீழாக மாற்றுகிறோம்?
பதில்: வகுத்தல் என்பது பெருக்கலின் நேர்மாறாகும். ஒரு எண்ணை 2 ஆல் வகுப்பது என்பது அந்த எண்ணை 1/2 ஆல் பெருக்குவதற்கு சமம். அதே தர்க்கம் பின்னங்களுக்கும் பொருந்தும்.
- எந்தவொரு பின்னத்தையும் 1 ஆல் பெருக்கினால் அதே பின்னம் கிடைக்கும்.
- எந்தவொரு பின்னத்தையும் 0 ஆல் பெருக்கினால் விடை 0 ஆகும்.
- பின்னத்தின் தலைகீழியை (Reciprocal) அந்த பின்னத்தால் பெருக்கினால் விடை எப்போதும் 1 ஆகும் (எ.கா: 3/4 × 4/3 = 1).
7. தேர்வு நோக்கில் சில கூடுதல் குறிப்புகள்
போட்டித் தேர்வுகளில் பின்னங்கள் பெரும்பாலும் தசம எண்களுடன் (Decimals) கலந்து கேட்கப்படலாம். அத்தகைய சூழலில், தசம எண்களைப் பின்னங்களாக மாற்றி (எ.கா: 0.5 = 1/2) கணக்கிடுவது மிகவும் எளிது. இது தவறு நடப்பதற்கான வாய்ப்பைக் குறைக்கும்.
8. சுருக்கமான அட்டவணை
| செயல்பாடு | சின்னம் | முறை |
|---|---|---|
| பெருக்கல் | × | நேராகப் பெருக்கு (தொகுதி × தொகுதி, பகுதி × பகுதி) |
| வகுத்தல் | ÷ | இரண்டாவது பின்னத்தைத் தலைகீழாக்கி பெருக்கு |
9. முடிவுரை
பின்னங்களின் பெருக்கல் மற்றும் வகுத்தல் என்பது அடிப்படைக் கணிதத்தின் முதுகெலும்பாகும். மேற்சொன்ன விதிகளைப் பின்பற்றி, அதிகப்படியான பயிற்சி வினாக்களைச் செய்து பார்ப்பதன் மூலம், நீங்கள் தேர்வில் குறைந்த நேரத்தில் துல்லியமான விடைகளைக் கண்டறிய முடியும். குறிப்பாக, சுருக்குதல் (Cancellation) முறையை நன்கு பயிற்சி செய்யுங்கள்.
10. சுய மதிப்பீடு
நீங்களே கீழே உள்ள கணக்குகளைச் செய்து பாருங்கள்:
- 1 1/2 × 2/3 = ?
- 5/8 ÷ 15/16 = ?
- 7/9 × 3/14 = ?
இந்த அடிப்படை நுணுக்கங்களை நீங்கள் தொடர்ந்து பயிற்சி செய்தால், எந்தவொரு கடினமான பின்னக் கணக்குகளையும் எளிதாக எதிர்கொள்ளலாம்.