கணிதம்: மடங்குகள் (Multiples)

கணிதத்தில் 'மடங்குகள்' என்பது ஒரு அடிப்படை மற்றும் மிக முக்கியமான கருத்தாகும். ஒரு எண்ணை மற்றொரு முழு எண்ணால் பெருக்கும்போது கிடைக்கும் விடையே அந்த எண்ணின் மடங்காகும். உதாரணமாக, 3-ன் மடங்குகளைக் கண்டறிய, 3-ஐ 1, 2, 3, 4... என வரிசையாகப் பெருக்க வேண்டும். 3×1=3, 3×2=6, 3×3=9, 3×4=12 எனத் தொடரும் எண்களே 3-ன் மடங்குகள் ஆகும். இந்த அத்தியாயத்தில் மடங்குகளைப் பற்றிய ஆழமான புரிதலையும், போட்டித் தேர்வுகளில் கேட்கப்படும் வினாக்களுக்கான அணுகுமுறையையும் காண்போம்.

மடங்குகளின் அடிப்படைப் பண்புகள்

மடங்குகளைப் பற்றிப் படிக்கும்போது நாம் கவனிக்க வேண்டிய சில முக்கிய விதிகள் உள்ளன. இவை கணக்குகளை எளிதாகத் தீர்க்க உதவும்.

• ஒரு எண்ணின் மடங்குகள் முடிவற்றவை. ஏனெனில் எண்களுக்கு முடிவு கிடையாது.
• எந்தவொரு எண்ணும் அந்த எண்ணின் மடங்காகும் (எ.கா: 5×1 = 5, எனவே 5 என்பது 5-ன் மடங்கு).
• ஒரு எண்ணின் மிகச்சிறிய மடங்கு அந்த எண்ணே ஆகும்.
• ஒரு எண்ணின் மடங்குகள் அந்த எண்ணுக்குச் சமமாகவோ அல்லது அதைவிடப் பெரியதாகவோ மட்டுமே இருக்கும்.

பொது மடங்குகள் (Common Multiples)

இரண்டு அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட எண்களுக்கு பொதுவான மடங்குகளைக் கண்டறிவது 'மீச்சிறு பொது மடங்கு' (LCM) காணும் முறைக்கு அடித்தளமாகும். உதாரணமாக, 4 மற்றும் 6 ஆகிய எண்களின் பொது மடங்குகளைக் காண்போம்.

• 4-ன் மடங்குகள்: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36...
• 6-ன் மடங்குகள்: 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42...
• பொதுவானவை: 12, 24, 36...

இதில் 12 என்பது மிகச்சிறிய பொது மடங்கு ஆகும். இதையே நாம் LCM (Least Common Multiple) என்கிறோம்.

மீச்சிறு பொது மடங்கு (LCM) - விரிவான விளக்கம்

போட்டித் தேர்வுகளில் LCM காண்பது மிகவும் முக்கியம். இதற்கு இரண்டு முக்கிய முறைகள் உள்ளன:

1. பகா காரணிப்படுத்துதல் முறை (Prime Factorization Method)

கொடுக்கப்பட்ட எண்களை பகா எண்களின் பெருக்கற்பலனாக எழுத வேண்டும். பின்னர், ஒவ்வொரு பகா எண்ணின் அதிகபட்ச அடுக்கை எடுத்துப் பெருக்கினால் LCM கிடைக்கும்.

உதாரணம்: 12 மற்றும் 18-ன் LCM காண்க.

12 = 2 × 2 × 3 = 2² × 3¹

18 = 2 × 3 × 3 = 2¹ × 3²

LCM = 2-ன் அதிகபட்ச அடுக்கு (2²) × 3-ன் அதிகபட்ச அடுக்கு (3²) = 4 × 9 = 36.

2. வகுத்தல் முறை (Division Method)

எண்களை அருகருகே எழுதி, பொதுவான பகா எண்களால் வகுத்துக்கொண்டே செல்ல வேண்டும். இறுதி வரை வகுத்து, இடதுபுறம் உள்ள எண்களைப் பெருக்கினால் விடை கிடைக்கும்.

மடங்குகள் மற்றும் காரணிகள் - தொடர்பு

ஒரு எண்ணின் மடங்குகள் மற்றும் காரணிகளுக்கு இடையே நெருங்கிய தொடர்பு உள்ளது. ஒரு எண் 'a'-வின் மடங்காக இருந்தால், 'a' அந்த எண்ணின் காரணியாகும். இதைப் பற்றிய முக்கிய சூத்திரம்:

போட்டித் தேர்வு வினாக்கள் - மாதிரி கணக்குகள்

கேள்வி 1: 15, 20, 30 ஆகிய எண்களால் மீதியின்றி வகுபடக்கூடிய மிகச்சிறிய எண் எது?

விளக்கம்: இங்கு 'மீச்சிறு பொது மடங்கு' (LCM) காண வேண்டும். 15, 20, 30-க்கு LCM எடுத்தால் 60 கிடைக்கும். எனவே, 60-தான் அந்த சிறிய எண்.

கேள்வி 2: 50 முதல் 100 வரை உள்ள 7-ன் மடங்குகள் எத்தனை?

விளக்கம்: 50/7 = 7.1 (எனவே 8-வது மடங்கிலிருந்து தொடங்க வேண்டும்). 7×8 = 56. 100/7 = 14.2 (எனவே 14-வது மடங்கு வரை). 7×14 = 98. மொத்தம் 14 - 8 + 1 = 7 மடங்குகள் உள்ளன.

மடங்குகளை வேகமாகக் கண்டறியும் நுட்பங்கள்

• 2-ன் மடங்கு: கடைசி இலக்கம் இரட்டைப்படையாக (0, 2, 4, 6, 8) இருக்க வேண்டும்.
• 3-ன் மடங்கு: இலக்கங்களின் கூடுதல் 3-ஆல் வகுபட வேண்டும்.
• 5-ன் மடங்கு: கடைசி இலக்கம் 0 அல்லது 5-ஆக இருக்க வேண்டும்.
• 10-ன் மடங்கு: கடைசி இலக்கம் 0-ஆக இருக்க வேண்டும்.

முடிவுரை

மடங்குகள் என்பது வெறும் எண்களின் பெருக்கல் மட்டுமல்ல, இது சிக்கலான கணக்குகளை எளிமையாக்கும் ஒரு கருவி. மீச்சிறு பொது மடங்கு (LCM) மற்றும் மீப்பெரு பொது காரணி (HCF) தொடர்பான வினாக்களில் மடங்குகளின் புரிதல் மிக அவசியமானது. தினசரி பயிற்சியின் மூலம் இந்த எண்களைக் கையாள்வதில் நீங்கள் வேகத்தைப் பெற முடியும். கொடுக்கப்பட்ட சூத்திரங்களையும், வகுத்தல் முறைகளையும் மீண்டும் மீண்டும் பயிற்சி செய்து தேர்வில் வெற்றி பெற வாழ்த்துகள்.