முழுக்களின் கூட்டல் மற்றும் கழித்தல்

கணிதத்தில் 'முழுக்கள்' (Integers) என்பது மிக முக்கியமான அடிப்படைப் பாடமாகும். இயல் எண்கள், அவற்றின் எதிர்மறை எண்கள் மற்றும் பூஜ்ஜியம் ஆகியவற்றை உள்ளடக்கிய தொகுப்பே முழுக்கள் ஆகும். இவற்றை எண் கோட்டில் குறிக்கும்போது, பூஜ்ஜியத்திற்கு வலதுபுறம் மிகை முழுக்கள் (Positive Integers) மற்றும் இடதுபுறம் குறை முழுக்கள் (Negative Integers) அமைகின்றன. இந்த பாடத்தில் முழுக்களின் கூட்டல் மற்றும் கழித்தல் விதிகளையும், அவற்றை எவ்வாறு எளிமையாகக் கணக்கிடுவது என்பதையும் விரிவாகக் காண்போம்.

முழுக்களின் கூட்டல் விதிகள்

முழுக்களைக் கூட்டும்போது, அந்த எண்களின் குறிகளை (Signs) கவனிப்பது மிக அவசியம். கூட்டலில் இரண்டு முக்கிய நிலைகள் உள்ளன.

நிலை 1: ஒரே குறியுடைய எண்களைக் கூட்டுதல்

கூட்டப்பட வேண்டிய இரண்டு எண்களும் ஒரே குறியைக் கொண்டிருந்தால் (இரண்டும் மிகை அல்லது இரண்டும் குறை), அந்த எண்களின் மதிப்புகளைக் கூட்டி, அதே குறியை விடையின் முன்னால் இட வேண்டும். உதாரணமாக, (+5) + (+3) = +8 மற்றும் (-5) + (-3) = -8.

நிலை 2: வெவ்வேறு குறியுடைய எண்களைக் கூட்டுதல்

கூட்டப்பட வேண்டிய எண்கள் வெவ்வேறு குறிகளைக் கொண்டிருந்தால், பெரிய எண்ணிலிருந்து சிறிய எண்ணைக் கழித்துவிட்டு, பெரிய எண்ணின் குறியை விடையாக இட வேண்டும். உதாரணமாக, (+10) + (-4) = +6 (ஏனெனில் 10 பெரியது, அதன் குறி +) மற்றும் (-10) + (+4) = -6 (ஏனெனில் 10 பெரியது, அதன் குறி -).

நினைவில் கொள்ள வேண்டிய குறுக்குவழி (Shortcut)

ஒரே குறி = கூட்டு (எண்களைக் கூட்டி அதே குறியை இடு).

வேறு குறியீடு = கழி (பெரிய எண்ணிலிருந்து சிறியதைக் கழித்து பெரிய எண்ணின் குறியை இடு).

எளிய சூத்திரம்: "ஒரே இனம் சேர், வேற்று இனம் கழித்து பெரியவன் குறியை இடு."

எண் கோட்டின் மூலம் கூட்டல்

எண் கோட்டைப் பயன்படுத்தி கூட்டலை எளிதாகப் புரிந்து கொள்ளலாம். ஒரு மிகை எண்ணைக் கூட்டினால் எண் கோட்டில் வலதுபுறம் நகர வேண்டும். ஒரு குறை எண்ணைக் கூட்டினால் எண் கோட்டில் இடதுபுறம் நகர வேண்டும்.

கூட்டல் செயல்பாடு	திசை
மிகை எண்ணை (+ ) கூட்டுதல்	வலதுபுறம் நகர்தல்
குறை எண்ணை (- ) கூட்டுதல்	இடதுபுறம் நகர்தல்

முழுக்களின் கழித்தல் விதிகள்

முழுக்களின் கழித்தலை, கூட்டல் விதியாக மாற்றுவது மிகச் சிறந்த முறையாகும். ஒரு முழுக்கை மற்றொரு முழுக்கிலிருந்து கழிப்பது என்பது, அந்த முழுக்கின் 'கூட்டல் நேர்மாற்றை' (Additive Inverse) கூட்டுவதற்குச் சமம்.

எடுத்துக்காட்டாக: a - b = a + (-b)

இங்கே, இரண்டாவது எண்ணின் குறியை மாற்றி, கூட்டல் விதியைப் பயன்படுத்த வேண்டும். (-5) - (-3) என்று இருந்தால், அதை (-5) + (+3) என மாற்ற வேண்டும். இப்போது வெவ்வேறு குறிகள் இருப்பதால், கழித்துவிட்டு பெரிய எண்ணின் குறியைப் போட்டால் விடை -2 என கிடைக்கும்.

முக்கியக் குறிப்பு: குறியீடுகளின் பெருக்கல்

கழித்தலில் குறியீடுகள் சந்திக்கும்போது கவனமாக இருக்க வேண்டும்:

(-) × (-) = (+)
(+) × (-) = (-)
(-) × (+) = (-)
(+) × (+) = (+)

நடைமுறை உதாரணங்கள்

முழுக்களின் கூட்டல் மற்றும் கழித்தல் அன்றாட வாழ்க்கையில் பல இடங்களில் பயன்படுகிறது. வங்கி கணக்கு, வெப்பநிலை மாற்றம் மற்றும் கடல் மட்டத்திற்கு மேலேயும் கீழேயும் உள்ள உயரத்தைக் கணக்கிட இது உதவுகிறது.

உதாரணம் 1: ஒருவரின் வங்கிக் கணக்கில் ரூ. 500 உள்ளது. அவர் ரூ. 700 எடுக்கிறார். இப்போது கணக்கில் உள்ள தொகை என்ன?

தீர்வு: +500 - 700 = -200. அதாவது அவர் வங்கியில் ரூ. 200 கடன் (Overdraft) வைத்துள்ளார்.

உதாரணம் 2: ஒரு நகரத்தின் வெப்பநிலை காலை 5°C ஆக இருந்தது. மாலை 8°C குறைந்தது. தற்போதைய வெப்பநிலை என்ன?

தீர்வு: 5 - 8 = -3°C. வெப்பநிலை தற்போது உறைநிலைக்குக் கீழே 3 டிகிரி உள்ளது.

முழுக்களின் கூட்டல் பண்புகள்

முழுக்களின் கூட்டல் சில முக்கியப் பண்புகளைக் கொண்டுள்ளது, இவை கணக்குகளை வேகமாகத் தீர்க்க உதவும்:

அடைவுப் பண்பு: இரு முழுக்களைக் கூட்டினால் கிடைக்கும் விடையும் ஒரு முழுக்கே ஆகும்.
பரிமாற்றுப் பண்பு: a + b = b + a. எண்களின் வரிசையை மாற்றினாலும் விடை மாறாது.
சேர்ப்புப் பண்பு: (a + b) + c = a + (b + c).
கூட்டல் சமனி: எந்த எண்ணுடன் பூஜ்ஜியத்தைக் கூட்டினாலும் அதே எண் கிடைக்கும் (a + 0 = a).
கூட்டல் நேர்மாறு: a + (-a) = 0.

கணிதப் பயிற்சி - தீர்வு காணுதல்

கீழ்க்கண்ட கணக்குகளை மேற்கூறிய விதிகளின்படி தீர்க்கவும்:

(-15) + (-20) = ? (விடை: -35)
45 - (-10) = ? (விடை: 55, ஏனெனில் 45 + 10)
(-100) + 75 = ? (விடை: -25)

தேர்வு நோக்கில் நினைவில் கொள்ள வேண்டியவை:

1. கழித்தல் குறியைத் தொடர்ந்து ஒரு குறை எண் வந்தால், அது கூட்டல் குறியாக மாறும் என்பதை மறக்காதீர்கள்.

2. எப்போதும் விடையின் குறியைச் சரிபார்க்கவும். பெரிய எண்ணின் குறியே விடையின் குறியாக இருக்கும்.

3. எண் கோடு வரைந்து பார்ப்பது தவறுகளைத் தவிர்க்க உதவும்.

முழுக்களின் கூட்டல் மற்றும் கழித்தல் என்பது மற்ற உயர் கணித தலைப்புகளுக்கு அடித்தளமாகும். இயற்கணிதம் (Algebra) போன்ற பாடங்களில் இந்த விதிகள் மிக முக்கியப் பங்கு வகிக்கின்றன. கொடுக்கப்பட்ட விதிகளைத் தெளிவாகப் புரிந்துகொண்டு பயிற்சி செய்தால், இப்பாடத்தில் நூறு சதவீத மதிப்பெண்களைப் பெற முடியும்.