விகிதமுறு எண்களின் பெருக்கல் மற்றும் வகுத்தல்

கணிதத்தில் விகிதமுறு எண்கள் (Rational Numbers) என்பது மிக முக்கியமான ஒரு பகுதியாகும். ஒரு எண்ணை p/q என்ற பின்ன வடிவில், q ≠ 0 என்ற நிபந்தனையுடன் எழுத முடிந்தால், அது விகிதமுறு எண் எனப்படும். இந்த அத்தியாயத்தில், விகிதமுறு எண்களை எவ்வாறு பெருக்குவது மற்றும் வகுப்பது என்பதை விரிவாகக் காண்போம்.

1. விகிதமுறு எண்களின் பெருக்கல் (Multiplication of Rational Numbers)

இரண்டு விகிதமுறு எண்களைப் பெருக்கும்போது, தொகுதியை தொகுதியுடனும், பகுதியை பகுதியுடனும் பெருக்க வேண்டும். இது பின்னங்களின் பெருக்கலைப் போலவே செயல்படுகிறது.

பெருக்கல் விதி:

இரு விகிதமுறு எண்கள் a/b மற்றும் c/d எனில், அவற்றின் பெருக்கல் பலன்:

(a/b) × (c/d) = (a × c) / (b × d)

நினைவில் கொள்ள வேண்டிய குறுக்குவழி (Shortcut):

பெருக்கலின் போது, குறுக்காக எண்களைச் சுருக்க முடிந்தால் (Simplification), முதலில் சுருக்கிவிட்டுப் பிறகு பெருக்கவும். இது கணக்கீட்டை எளிதாக்கும்.

உதாரணம்: (2/5) × (10/4) = (2/4) × (10/5) = (1/2) × 2 = 1

பெருக்கலின் பண்புகள்:

அடைவுப் பண்பு: இரு விகிதமுறு எண்களைப் பெருக்கினால் கிடைக்கும் விடை ஒரு விகிதமுறு எண்ணாகவே இருக்கும்.
பரிமாற்றுப் பண்பு: a/b × c/d = c/d × a/b (வரிசை மாறினாலும் விடை மாறாது).
சேர்ப்புப் பண்பு: (a/b × c/d) × e/f = a/b × (c/d × e/f).
பெருக்கல் சமனி: எந்தவொரு விகிதமுறு எண்ணையும் 1-ஆல் பெருக்கினால் அதே எண் கிடைக்கும் (a/b × 1 = a/b).
பூஜ்ஜியத்தால் பெருக்கல்: எந்தவொரு விகிதமுறு எண்ணையும் 0-ஆல் பெருக்கினால் விடை 0 ஆகும்.

2. விகிதமுறு எண்களின் வகுத்தல் (Division of Rational Numbers)

வகுத்தல் என்பது பெருக்கலின் தலைகீழ் செயல்பாடு ஆகும். ஒரு விகிதமுறு எண்ணை மற்றொரு எண்ணால் வகுப்பது என்பது, அந்த எண்ணின் தலைகீழியால் (Reciprocal) பெருக்குவதற்குச் சமம்.

வகுத்தல் விதி:

இரு விகிதமுறு எண்கள் a/b மற்றும் c/d எனில், a/b ÷ c/d என்பதை பின்வருமாறு எழுதலாம்:

(a/b) ÷ (c/d) = (a/b) × (d/c)

இங்கு c/d இன் தலைகீழி d/c ஆகும்.

முக்கிய குறிப்பு:

வகுக்கும் எண் (divisor) ஒருபோதும் பூஜ்ஜியமாக இருக்கக்கூடாது. ஏனெனில், பூஜ்ஜியத்தால் வகுத்தல் என்பது வரையறுக்கப்படாதது (Undefined).

3. படிநிலை விளக்கம் மற்றும் எடுத்துக்காட்டுகள்

கணக்குகளைத் தீர்க்கும் போது கீழ்க்கண்ட படிகளைப் பின்பற்றவும்:

கொடுக்கப்பட்ட எண்களின் குறியீடுகளை கவனிக்கவும் (நேர்மறை/எதிர்மறை).
வகுத்தல் குறியீடு இருந்தால், அதை பெருக்கல் குறியீடாக மாற்றி, இரண்டாவது எண்ணின் தலைகீழியை எழுதவும்.
தொகுதி மற்றும் பகுதிகளைப் பெருக்கவும்.
கிடைக்கும் விடையைச் சுருங்கிய வடிவத்திற்கு (Lowest term) மாற்றவும்.

செயல்பாடு	எடுத்துக்காட்டு	விடை
பெருக்கல்	(-3/4) × (2/9)	-6/36 = -1/6
வகுத்தல்	(5/7) ÷ (10/14)	(5/7) × (14/10) = 70/70 = 1

4. எதிர்மறை மற்றும் தலைகீழி எண்கள்

விகிதமுறு எண்களைக் கையாளும்போது, கூட்டல் நேர்மாறு (Additive Inverse) மற்றும் பெருக்கல் நேர்மாறு (Multiplicative Inverse) ஆகியவற்றைத் தெரிந்து கொள்வது அவசியம்.

பெருக்கல் நேர்மாறு (தலைகீழி):

ஒரு விகிதமுறு எண் x/y எனில், அதன் பெருக்கல் நேர்மாறு y/x ஆகும். இவற்றுக்கு இடையே உள்ள தொடர்பு: (x/y) × (y/x) = 1.

தேர்வுக்கான முக்கிய குறிப்புகள்:

எதிர்மறை எண்களைப் பெருக்கும்போது: (-) × (-) = (+), (+) × (-) = (-).
ஒன்றுக்கும் மேற்பட்ட விகிதமுறு எண்களைப் பெருக்கும்போது, எதிர்மறை குறிகளின் எண்ணிக்கையைக் கணக்கிடவும். ஒற்றைப்படை எண்ணிக்கையில் எதிர்மறை குறிகள் இருந்தால், விடை எதிர்மறையாக இருக்கும்.
எண் 1-ன் தலைகீழி 1, -1-ன் தலைகீழி -1.
0-க்கு தலைகீழி கிடையாது.

5. நடைமுறைப் பயன்பாடுகள்

விகிதமுறு எண்களின் பெருக்கல் மற்றும் வகுத்தல் நிஜ வாழ்க்கையில் அளவீடுகள், பங்குச் சந்தை மாற்றங்கள், மற்றும் அறிவியல் கணக்கீடுகளில் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. உதாரணமாக, ஒரு பொருளின் விலை ஒரு குறிப்பிட்ட விகிதத்தில் மாறும்போது, அதன் மொத்த மதிப்பைக் கண்டறிய விகிதமுறு பெருக்கல் தேவைப்படுகிறது.

சுருக்கமான நினைவூட்டல் அட்டவணை:

நிலை	செயல்முறை
பெருக்கல்	நேரடிப் பெருக்கல் (தொகுதி x தொகுதி / பகுதி x பகுதி)
வகுத்தல்	தலைகீழியாக மாற்றிப் பெருக்குதல்
குறிகள்	ஒரே குறி (+), மாறுபட்ட குறி (-)

இந்த அடிப்படை விதிகளைப் புரிந்துகொண்டால், போட்டித் தேர்வுகளில் கேட்கப்படும் சிக்கலான சுருக்கல் கணக்குகளை மிக எளிதாகத் தீர்க்க முடியும். எப்போதும் விடையைச் சுருங்கிய வடிவத்திலேயே (Simplified form) கொடுக்கப் பழகிக்கொள்ளுங்கள்.