சமத்துவம் மற்றும் ஏற்றத்தாழ்வு (Equality and Inequality)

கணிதத்தில் சமத்துவம் மற்றும் ஏற்றத்தாழ்வு என்பது எண்களுக்கு இடையிலான உறவை வரையறுக்கும் அடிப்படை விதியாகும். ஒரு மாணவராக, நீங்கள் எண்களை ஒப்பிடும்போது, அவை சமமானவையா அல்லது ஒன்றையொன்று விடப் பெரியதா/சிறியதா என்பதைத் தீர்மானிக்க இந்த கருத்துகள் உதவுகின்றன. இது பின்னங்கள், தசமங்கள் மற்றும் இயற்கணித சமன்பாடுகளைப் புரிந்துகொள்வதற்கான முதல் படியாகும்.

1. சமத்துவம் (Equality) என்றால் என்ன?

இரண்டு எண்கள் அல்லது கோவைகள் ஒரே மதிப்பைக் கொண்டிருந்தால், அவை 'சமமானவை' என்று அழைக்கப்படுகின்றன. இதை நாம் '=' என்ற குறியீட்டைக் கொண்டு குறிக்கிறோம். உதாரணமாக, 5 = 5 என்பது ஒரு சமத்துவம். கூட்டல், கழித்தல் அல்லது பின்னங்களின் சுருக்கத்திற்குப் பிறகு, இருபுறமும் ஒரே விடை கிடைத்தால் அது சமத்துவம் ஆகும்.

சமத்துவத்தின் பண்புகள்:

• தனித்தன்மை: a = a (எந்த எண்ணும் அதற்குச் சமம்).
• சமச்சீர் தன்மை: a = b எனில், b = a ஆகும்.
• கடப்புத் தன்மை: a = b மற்றும் b = c எனில், a = c ஆகும்.

2. ஏற்றத்தாழ்வு (Inequality)

இரண்டு எண்களின் மதிப்பு சமமாக இல்லாதபோது, அவை 'ஏற்றத்தாழ்வு' நிலையில் உள்ளன என்கிறோம். இதற்குப் பயன்படுத்தப்படும் குறியீடுகள்:

• > (பெரியது): இடது பக்கம் உள்ள எண் வலது பக்கம் உள்ளதை விடப் பெரியது. (எ.கா: 10 > 7)
• < (சிறியது): இடது பக்கம் உள்ள எண் வலது பக்கம் உள்ளதை விடச் சிறியது. (எ.கா: 3 < 8)
• ≥ (பெரியது அல்லது சமம்): மதிப்பு சமமாக இருக்கலாம் அல்லது அதிகமாக இருக்கலாம்.
• ≤ (சிறியது அல்லது சமம்): மதிப்பு சமமாக இருக்கலாம் அல்லது குறைவாக இருக்கலாம்.
• ≠ (சமமற்றது): இரு மதிப்புகளும் சமமில்லை.

3. பின்னங்களில் சமத்துவம் மற்றும் ஏற்றத்தாழ்வு

பின்னங்களை ஒப்பிடும்போது, அவற்றின் பகுதிகள் (Denominators) சமமாக இருந்தால், தொகுதியை (Numerator) மட்டும் பார்த்தால் போதும். ஆனால், பகுதிகள் வெவ்வேறாக இருந்தால், நாம் குறுக்குப் பெருக்கல் (Cross Multiplication) முறையைப் பயன்படுத்த வேண்டும்.

ஒப்பீட்டு முறை:

பின்னங்கள் a/b மற்றும் c/d என்க. இவற்றை ஒப்பிட:

• a × d = b × c எனில், பின்னங்கள் சமம்.
• a × d > b × c எனில், a/b பெரியது.
• a × d < b × c எனில், c/d பெரியது.

4. எண்கோட்டில் ஏற்றத்தாழ்வு

எண்கோட்டில், ஒரு எண் வலதுபுறம் நகர்ந்தால் அதன் மதிப்பு கூடும். எனவே, வலதுபுறம் உள்ள எண் எப்போதும் பெரியது. எதிர்மறை எண்களைப் பொறுத்தவரை (Negative Numbers), பூஜ்ஜியத்திற்கு அருகில் இருக்கும் பெரிய எதிர்மறை எண்ணே மிகப்பெரியது. (எ.கா: -2 > -5).

5. நடைமுறை எடுத்துக்காட்டுகள்

தகவல் செயலாக்கத்தில், தரவுகளைத் தரம் பிரிக்கும்போது (Sorting) இந்த சமத்துவ மற்றும் ஏற்றத்தாழ்வு விதிகள் மிக முக்கியம். உதாரணமாக, ஒரு வகுப்பில் மாணவர்களின் மதிப்பெண்களை ஏறுவரிசை அல்லது இறங்குவரிசையில் அடுக்க இந்த விதிகள் பயன்படுகின்றன.

6. தீர்க்கப்பட்ட பயிற்சி கணக்குகள்

கேள்வி: 3/5 மற்றும் 5/8 ஆகியவற்றுள் எது பெரியது?

தீர்வு: குறுக்குப் பெருக்கல் முறைப்படி,

3 × 8 = 24

5 × 5 = 25

24 < 25 என்பதால், 3/5 < 5/8.

7. தகவல் செயலாக்கத்தின் பங்கு

கணினி அறிவியலில், 'if-else' நிபந்தனைகள் அனைத்தும் இந்த ஏற்றத்தாழ்வு விதிகளின் அடிப்படையிலேயே இயங்குகின்றன. ஒரு நிரல் (Program) ஒரு செயலைச் செய்ய வேண்டுமா வேண்டாமா என்பதைத் தீர்மானிக்க 'சமத்துவம்' (==) மற்றும் 'ஏற்றத்தாழ்வு' (<, >) குறியீடுகள் மிக முக்கியமானவை. இது தர்க்கரீதியான சிந்தனையை (Logical Thinking) வளர்க்கிறது.

8. சுருக்கமான அட்டவணை - நினைவாற்றல்

9. முடிவுரை

சமத்துவம் மற்றும் ஏற்றத்தாழ்வு என்பது வெறும் கணிதக் குறியீடுகள் மட்டுமல்ல; அவை எண்களுக்கு இடையிலான உறவை விளக்கும் மொழி. இந்தப் பாடத்தில் நீங்கள் கற்ற இந்த அடிப்படை விதிகள், உயர்நிலை கணிதத்தில் இயற்கணிதம் (Algebra) மற்றும் கால்குலஸ் (Calculus) போன்ற கடினமான தலைப்புகளை எளிதாகப் புரிந்துகொள்ள உதவும். தொடர்ந்து பயிற்சி செய்யுங்கள், தர்க்க ரீதியான முடிவுகளை எடுக்கும் திறன் உங்களுக்குக் கைவரும்.

இந்தக் குறிப்புகள் சமத்துவம் மற்றும் ஏற்றத்தாழ்வு குறித்த உங்கள் புரிதலை ஆழப்படுத்தும் என்பதில் ஐயமில்லை. அடுத்தடுத்த தலைப்புகளில் தசம எண்களின் ஏற்றத்தாழ்வுகளை விரிவாகக் காண்போம்.