மீப்பெரு பொதுக் காரணி (Highest Common Factor - HCF)

போட்டித் தேர்வுகளில் கணிதப் பகுதியில் மிக முக்கியமான தலைப்புகளில் ஒன்று மீப்பெரு பொதுக் காரணி (HCF) ஆகும். ஒரு குறிப்பிட்ட எண்களின் தொகுப்பிற்கு, அந்த எண்களை மீதியின்றி வகுக்கக்கூடிய மிகப்பெரிய எண்ணே மீப்பெரு பொதுக் காரணி எனப்படும். இதை 'மீ.பொ.கா' என்று சுருக்கமாக அழைப்போம். ஆங்கிலத்தில் இதனை Greatest Common Divisor (GCD) என்றும் அழைப்பார்கள்.

மீப்பெரு பொதுக் காரணி - அடிப்படை விளக்கம்

எடுத்துக்காட்டாக, 12 மற்றும் 18 ஆகிய எண்களை எடுத்துக்கொள்வோம். 12-ன் காரணிகள்: 1, 2, 3, 4, 6, 12. 18-ன் காரணிகள்: 1, 2, 3, 6, 9, 18. இவ்விரண்டு எண்களுக்கும் பொதுவான காரணிகள்: 1, 2, 3, 6. இதில் மிகப்பெரிய எண் 6 ஆகும். எனவே, 12 மற்றும் 18-ன் மீ.பொ.கா 6 ஆகும்.

மீ.பொ.கா கண்டறியும் முறைகள்

மீ.பொ.கா-வை மூன்று முக்கிய முறைகளில் கண்டறியலாம்:

1. காரணிப்படுத்துதல் முறை (Factorization Method)
2. பகா காரணிப்படுத்துதல் முறை (Prime Factorization Method)
3. தொடர் வகுத்தல் முறை (Division Method)

1. காரணிப்படுத்துதல் முறை

ஒவ்வொரு எண்ணிற்கும் தனித்தனியாக அனைத்துக் காரணிகளையும் எழுதி, அவற்றில் பொதுவான பெரிய எண்ணைத் தேர்ந்தெடுப்பது இந்த முறையாகும். சிறிய எண்களுக்கு இது எளிது, ஆனால் பெரிய எண்களுக்கு இது நேரத்தை எடுக்கும்.

2. பகா காரணிப்படுத்துதல் முறை

ஒவ்வொரு எண்ணையும் பகா எண்களின் பெருக்கற்பலனாகப் பிரித்து எழுத வேண்டும். பிறகு, அனைத்து எண்களிலும் பொதுவான பகா எண்களின் மிகச்சிறிய அடுக்கைப் பெருக்கினால் மீ.பொ.கா கிடைக்கும்.

உதாரணம்: 24, 36

• 24 = 2 × 2 × 2 × 3 = 2³ × 3¹
• 36 = 2 × 2 × 3 × 3 = 2² × 3²
• பொதுவானவை: 2² மற்றும் 3¹
• மீ.பொ.கா = 4 × 3 = 12

3. தொடர் வகுத்தல் முறை (மிகவும் முக்கியமானது)

பெரிய எண்களுக்கு இந்த முறை மிகச்சிறந்ததாகும். பெரிய எண்ணைச் சிறிய எண்ணால் வகுத்து, மீதி வரும் எண்ணால் முந்தைய வகுத்தியை மீண்டும் வகுக்க வேண்டும். மீதி பூஜ்ஜியம் வரும் வரை இதைத் தொடர வேண்டும். இறுதியாக எந்த எண்ணால் வகுக்கும்போது மீதி பூஜ்ஜியம் வருகிறதோ, அதுவே மீ.பொ.கா ஆகும்.

பின்னங்களின் மீ.பொ.கா (HCF of Fractions)

பின்னங்களின் தொகுப்புக்கு மீ.பொ.கா காண ஒரு குறிப்பிட்ட சூத்திரம் உள்ளது:

எடுத்துக்காட்டு: 2/3, 4/5, 6/7 ஆகியவற்றின் மீ.பொ.கா காண:

• தொகுதிகள்: 2, 4, 6-ன் மீ.பொ.கா = 2
• பகுதிகள்: 3, 5, 7-ன் மீ.சி.ம = 105
• விடை: 2/105

முக்கியமான கணிதத் தொடர்புகள்

இரண்டு எண்களின் பெருக்கற்பலன் = (அந்த எண்களின் மீ.பொ.கா) × (அந்த எண்களின் மீ.சி.ம). இது தேர்வுகளில் அடிக்கடி கேட்கப்படும் சூத்திரமாகும்.

இரு எண்கள் 'a' மற்றும் 'b' எனில்:

a × b = HCF(a, b) × LCM(a, b)

தேர்வு நோக்கில் சில முக்கிய குறிப்புகள்

• எப்போதும் எண்களின் மீ.பொ.கா அந்த எண்களில் உள்ள மிகச்சிறிய எண்ணை விட குறைவாகவோ அல்லது சமமாகவோ தான் இருக்கும்.
• பகா எண்களின் மீ.பொ.கா எப்போதும் 1 ஆகும்.
• தொடர்ச்சியான எண்களின் மீ.பொ.கா 1 ஆகும் (உதாரணம்: 5, 6-ன் மீ.பொ.கா 1).

நடைமுறை உதாரணம் (Word Problems)

கேள்வி: 120 செ.மீ, 180 செ.மீ மற்றும் 240 செ.மீ நீளமுள்ள மூன்று கம்பிகளைச் சம நீளமுள்ள துண்டுகளாக வெட்டினால், ஒரு துண்டின் அதிகபட்ச நீளம் என்ன?

தீர்வு: இங்கு 'அதிகபட்ச' என்று கேட்கப்பட்டுள்ளதால், நாம் 120, 180, 240 ஆகிய எண்களுக்கு மீ.பொ.கா காண வேண்டும்.

• 120 = 60 × 2
• 180 = 60 × 3
• 240 = 60 × 4
• பொதுவான காரணி 60. எனவே, ஒரு துண்டின் அதிகபட்ச நீளம் 60 செ.மீ ஆகும்.

மீ.பொ.கா கணக்கிடும் வேகமான யுக்திகள்

முடிவுரை

மீ.பொ.கா என்பது வெறும் கணக்கீடு மட்டுமல்ல, இது பல சிக்கலான கணிதப் புதிர்களைத் தீர்க்க உதவும் ஒரு கருவி. மேற்கூறிய முறைகளைத் தொடர்ந்து பயிற்சி செய்வதன் மூலம், தேர்வில் மிகக் குறைந்த நேரத்தில் விடையைக் கண்டறிய முடியும். குறிப்பாக, பெரிய எண்களுக்குத் தொடர் வகுத்தல் முறையையும், பின்னங்களுக்கு சூத்திரத்தையும் பயன்படுத்துவது நேரத்தை மிச்சப்படுத்தும்.

தேர்வுத் தயாரிப்பில், முந்தைய ஆண்டு வினாத்தாள்களில் கேட்கப்பட்ட மீ.பொ.கா கணக்குகளைத் தொகுத்து, அவற்றை இந்த முறைகளைப் பயன்படுத்தி மீண்டும் மீண்டும் பயிற்சி செய்யவும். இது உங்களின் தன்னம்பிக்கையை அதிகரிக்கும்.