முழுக்களின் பண்புகள் மற்றும் எண் கோடு

கணிதத்தில் எண்கள் என்பவை அடிப்படை கட்டுமானக் கற்கள் ஆகும். அதில் 'முழுக்கள்' (Integers) என்பது மிக முக்கியமான தொகுப்பாகும். இயல் எண்கள் மற்றும் முழு எண்களைத் தாண்டி, குறை எண்களையும் உள்ளடக்கியதே முழுக்கள் தொகுப்பு எனப்படுகிறது. இந்த பாடம் முழுக்களின் அடிப்படைகள், அதன் பண்புகள் மற்றும் எண் கோட்டில் அவற்றை எவ்வாறு கையாள்வது என்பது குறித்து விரிவாக விளக்குகிறது.

முழுக்கள் (Integers) அறிமுகம்

முழுக்கள் என்பது குறை எண்கள், பூஜ்ஜியம் மற்றும் மிகை எண்களை உள்ளடக்கிய தொகுப்பாகும். இதை 'Z' என்ற ஆங்கில எழுத்தால் குறிப்போம் (ஜெர்மன் மொழியில் 'Zahlen' என்றால் எண்கள் என்று பொருள்).

• மிகை முழுக்கள்: 1, 2, 3, 4, ...
• குறை முழுக்கள்: -1, -2, -3, -4, ...
• பூஜ்ஜியம்: இது மிகை எண்ணும் அல்ல, குறை எண்ணும் அல்ல. நடுநிலை எண்.

முழுக்களின் தொகுப்பை இவ்வாறு எழுதலாம்: Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}

எண் கோடு (Number Line)

முழுக்களை ஒரு கிடைமட்டக் கோட்டில் குறிப்பதே எண் கோடு ஆகும். இதன் மையத்தில் '0' இருக்கும். பூஜ்ஜியத்திற்கு வலதுபுறம் மிகை எண்களும், இடதுபுறம் குறை எண்களும் அமையும்.

எண் கோட்டின் முக்கிய அம்சங்கள்:

1. எண் கோட்டில் வலதுபுறம் செல்லச் செல்ல எண்களின் மதிப்பு கூடும்.
2. எண் கோட்டில் இடதுபுறம் செல்லச் செல்ல எண்களின் மதிப்பு குறையும்.
3. எந்தவொரு மிகை எண்ணும், எந்தவொரு குறை எண்ணை விடவும் பெரியது.
4. பூஜ்ஜியமானது அனைத்து குறை எண்களை விடப் பெரியது, அனைத்து மிகை எண்களை விடச் சிறியது.

முழுக்களின் கூட்டல் மற்றும் கழித்தல் விதிக

முழுக்களைக் கையாளும்போது குறியீடுகளைக் கவனிப்பது மிகவும் அவசியம். கூட்டல் மற்றும் கழித்தலில் குழப்பத்தைத் தவிர்க்க கீழே உள்ள அட்டவணையைப் பயன்படுத்தவும்.

முழுக்களின் பண்புகள் (Properties of Integers)

முழுக்கள் நான்கு முக்கிய கணிதச் செயல்பாடுகளில் (கூட்டல், கழித்தல், பெருக்கல், வகுத்தல்) சில குறிப்பிட்ட பண்புகளைப் பின்பற்றுகின்றன.

1. அடைவுப் பண்பு (Closure Property)

இரு முழுக்களைக் கூட்டினால் கிடைக்கும் விடையும் ஒரு முழுவாகவே இருக்கும். உதாரணமாக, 5 + (-3) = 2. இது அடைவுப் பண்பு எனப்படுகிறது.

2. பரிமாற்றுப் பண்பு (Commutative Property)

எண்களின் வரிசையை மாற்றினாலும் விடை மாறாது. a + b = b + a. உதாரணமாக, 3 + 5 = 8 மற்றும் 5 + 3 = 8. இது கூட்டலுக்கு மட்டுமே பொருந்தும், கழித்தலுக்குப் பொருந்தாது.

3. சேர்ப்புப் பண்பு (Associative Property)

மூன்று முழுக்களைக் கூட்டும் போது, எண்களை எந்த வரிசையில் குழுப்படுத்தினாலும் விடை மாறாது. (a + b) + c = a + (b + c).

4. கூட்டல் சமனி (Additive Identity)

எந்த ஒரு எண்ணுடன் பூஜ்ஜியத்தைக் கூட்டினாலும் அதே எண் தான் கிடைக்கும். எனவே, '0' என்பது கூட்டல் சமனி ஆகும்.

5. கூட்டல் நேர்மாறு (Additive Inverse)

ஒரு எண்ணுடன் அதன் எதிர்மறையைக் கூட்டினால் பூஜ்ஜியம் கிடைக்கும். உதாரணமாக, 5-ன் கூட்டல் நேர்மாறு -5 ஆகும். (5 + (-5) = 0).

எண் கோட்டில் செயல்பாடுகள்

எண் கோட்டைப் பயன்படுத்தி கூட்டல் மற்றும் கழித்தலைச் செய்வது மிக எளிது.

• கூட்டல்: மிகை எண்களைக் கூட்டினால் வலதுபுறம் நகரவும். குறை எண்களைக் கூட்டினால் இடதுபுறம் நகரவும்.
• கழித்தல்: ஒரு எண்ணைக் கழிப்பது என்பது, அதற்கு நேர்மாறான எண்ணைக் கூட்டுவதற்குச் சமம்.

முழுக்களின் பெருக்கல் விதிக

பெருக்கலில் குறியீடுகள் மாற்றமடையும் விதம்:

• (+) × (+) = (+)
• (-) × (-) = (+)
• (+) × (-) = (-)
• (-) × (+) = (-)

இதை எளிதாக நினைவில் கொள்ள: ஒரே மாதிரியான குறியீடுகளைப் பெருக்கினால் விடை மிகையாக இருக்கும். வெவ்வேறு குறியீடுகளைப் பெருக்கினால் விடை குறையாக இருக்கும்.

பயிற்சி வினாக்கள் மற்றும் தீர்வுகள்

1. -10 மற்றும் 5-ன் கூடுதல் என்ன?
   தீர்வு: -10 + 5 = -5 (பெரிய எண்ணின் குறியீடு இடப்பட்டது).
2. -8 - (-3) இன் மதிப்பு என்ன?
   தீர்வு: -8 + 3 = -5.
3. -4 × -3-ன் மதிப்பு என்ன?
   தீர்வு: (- × - = +), எனவே 4 × 3 = 12.

இந்த முழுக்கள் பாடம், அடிப்படை இயற்கணிதத்திற்கு மிக முக்கியமானது. எண் கோடு வரைந்து பயிற்சி செய்வது உங்கள் வேகத்தை அதிகரிக்கும். எண்களின் குறியீடுகளைச் சரியாகக் கையாள்வதன் மூலம் கணிதத்தில் முழு மதிப்பெண்களைப் பெற முடியும்.