விகிதமுறு எண்களின் கூட்டல் மற்றும் கழித்தல்
கணிதத்தில் விகிதமுறு எண்கள் (Rational Numbers) என்பது மிக முக்கியமான ஒரு பகுதியாகும். ஒரு எண்ணை p/q என்ற பின்ன வடிவில் எழுத முடிந்தால், அது விகிதமுறு எண் எனப்படும். இங்கு p மற்றும் q ஆகியவை முழு எண்கள், மேலும் q என்பது சுழியம் (0) ஆக இருக்கக்கூடாது. இந்த பாடத்தில் விகிதமுறு எண்களை எவ்வாறு கூட்டுவது மற்றும் கழிப்பது என்பதை விரிவாகக் காண்போம்.
1. விகிதமுறு எண்களின் அடிப்படை அமைப்பு
விகிதமுறு எண்கள் பின்ன வடிவில் இருப்பதால், அவற்றின் கூட்டல் மற்றும் கழித்தலுக்குப் பின்னங்களின் அடிப்படை விதிகளைப் பயன்படுத்த வேண்டும். ஒரு விகிதமுறு எண்ணில், மேலுள்ள எண் 'தொகுதி' (Numerator) என்றும், கீழுள்ள எண் 'பகுதி' (Denominator) என்றும் அழைக்கப்படுகிறது.
விகிதமுறு எண்களைக் கூட்டும்போது அல்லது கழிக்கும்போது, அவற்றின் பகுதிகள் (Denominator) சமமாக இருந்தால், நேரடியாக தொகுதிகளைக் கூட்டி அல்லது கழித்துவிடலாம். ஆனால், பகுதிகள் வெவ்வேறாக இருந்தால், முதலில் அவற்றுக்கு மீச்சிறு பொது மடங்கு (LCM) காண வேண்டும்.
2. சமமான பகுதிகளைக் கொண்ட விகிதமுறு எண்களின் கூட்டல்
பகுதிகள் சமமாக இருக்கும்போது, கணக்கீடு மிகவும் எளிது. பகுதியைப் பொதுவானதாக வைத்துக்கொண்டு, தொகுதிகளை மட்டும் கூட்டினால் போதுமானது.
சூத்திரம்: a/c + b/c = a+b/c
எடுத்துக்காட்டு: 2/7 + 3/7
இங்கு பகுதி 7 என்பது பொதுவானது. எனவே, தொகுதிகளைக் கூட்டினால்: (2+3) / 7 = 5/7.
3. வெவ்வேறு பகுதிகளைக் கொண்ட விகிதமுறு எண்களின் கூட்டல்
பகுதிகள் வெவ்வேறாக இருக்கும்போது, நாம் 'குறுக்குப் பெருக்கல்' (Cross Multiplication) முறை அல்லது 'மீச்சிறு பொது மடங்கு' (LCM) முறையைப் பயன்படுத்தலாம். பெரும்பாலான தேர்வுகளில் LCM முறை சிறந்தது.
படிநிலைகள்:
- கொடுக்கப்பட்ட எண்களின் பகுதிகளுக்கு LCM காண வேண்டும்.
- ஒவ்வொரு பின்னத்தின் பகுதியையும் அந்த LCM-க்கு மாற்ற வேண்டும்.
- இப்போது பகுதிகள் சமமாகிவிடும், எனவே தொகுதிகளைக் கூட்டலாம்.
- கிடைக்கும் விடையைச் சுருக்கமான வடிவத்திற்கு (Simplified Form) மாற்ற வேண்டும்.
4 மற்றும் 3-ன் LCM = 12.
1/4 = 1×3/4×3 = 3/12
1/3 = 1×4/3×4 = 4/12
3/12 + 4/12 = 7/12
4. விகிதமுறு எண்களின் கழித்தல்
கழித்தலும் கூட்டலைப் போன்றதே. தொகுதிகளைக் கழிக்கும்போது குறியீடுகளை கவனமாகக் கையாள வேண்டும். குறிப்பாக, எதிர்மறை எண்கள் (Negative numbers) வரும்போது கூடுதல் கவனம் தேவை.
சூத்திரம்: a/c - b/c = a-b/c
எடுத்துக்காட்டு: 5/6 - 2/6 = 5-2/6 = 3/6 = 1/2
5. மிக முக்கியமான விதிகள் மற்றும் பண்புகள்
விகிதமுறு எண்களின் கூட்டலில் சில முக்கிய பண்புகள் உள்ளன, இவை தேர்வுக் கேள்விகளைத் தீர்க்க உதவும்:
- அடைவுப் பண்பு: இரண்டு விகிதமுறு எண்களைக் கூட்டினால் கிடைப்பதும் ஒரு விகிதமுறு எண்ணே.
- பரிமாற்றுப் பண்பு: a/b + c/d = c/d + a/b. (எந்த வரிசையில் கூட்டினாலும் விடை மாறாது).
- சேர்ப்புப் பண்பு: (a/b + c/d) + e/f = a/b + (c/d + e/f).
- கூட்டல் சமனி: எந்த ஒரு எண்ணுடனும் 0-ஐக் கூட்டினால் அதே எண் கிடைக்கும் (a/b + 0 = a/b).
- கூட்டல் நேர்மாறு: a/b-ன் கூட்டல் நேர்மாறு -a/b ஆகும்.
6. தேர்வுக்கான முக்கிய குறிப்புகள் (Exam Strategy)
1. விடையைச் சுருக்கமான வடிவத்தில் (Simplest Form) கொடுக்க மறக்காதீர்கள். உதாரணத்திற்கு 4/8 என்றால் அதை 1/2 என மாற்ற வேண்டும்.
2. கலப்பு பின்னங்கள் (Mixed Fractions) கொடுக்கப்பட்டால், அவற்றை முதலில் தகா பின்னங்களாக (Improper Fractions) மாற்றிவிட்டு பிறகு கூட்டவும்.
3. எதிர்மறை குறியீடுகளைக் கையாளும்போது பிராக்கெட் (Bracket) பயன்படுத்துவது பிழையைத் தவிர்க்கும்.
7. பயிற்சி வினாக்கள் மற்றும் தீர்வுகள்
| வினா | விளக்கம் | விடை |
|---|---|---|
| 2/5 + 1/5 | பகுதிகள் சமம், தொகுதிகளைக் கூட்டவும் | 3/5 |
| 3/4 - 1/2 | LCM 4 என மாற்றவும் (3/4 - 2/4) | 1/4 |
| -1/3 + 2/3 | (-1 + 2) / 3 | 1/3 |
8. கடினமான கணக்குகளை அணுகும் முறை
சில நேரங்களில் 3 அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட பின்னங்கள் கொடுக்கப்படலாம். அப்போது அனைத்து பகுதிகளுக்கும் சேர்த்து ஒரே நேரத்தில் LCM காண்பது நேரத்தைச் சேமிக்கும். உதாரணத்திற்கு 1/2 + 1/3 + 1/4 என்ற கணக்கில், 2, 3, 4 ஆகியவற்றின் LCM 12 ஆகும். எனவே அனைத்து பின்னங்களையும் 12-ஐப் பகுதியாகக் கொண்ட பின்னங்களாக மாற்ற வேண்டும்.
9. குறியீடுகளின் முக்கியத்துவம்
விகிதமுறு எண்களில் கழித்தல் செய்யும்போது, "கழித்தல்" என்பதற்கும் "எதிர்மறை எண்" என்பதற்கும் உள்ள வேறுபாட்டைப் புரிந்துகொள்ள வேண்டும். உதாரணமாக, 1/2 - (-1/2) என்பது 1/2 + 1/2 = 1 என்று மாறும். கழித்தலின் போது வரும் எதிர்மறை குறியீடு, கூட்டலாக மாறும் என்பதை நினைவில் கொள்க.
10. முடிவுரை
விகிதமுறு எண்களின் கூட்டல் மற்றும் கழித்தல் என்பது அடிப்படை கணிதத் திறனாகும். பகுதிகளைச் சமப்படுத்துதல் (LCM), தொகுதிகளைக் கையாளுதல் மற்றும் குறியீட்டு விதிகள் ஆகிய மூன்றையும் சரியாகப் பின்பற்றினால் எந்தக் கணக்கையும் எளிதில் தீர்க்கலாம். தொடர்ந்து பயிற்சி செய்வது தேர்வில் வேகத்தையும் துல்லியத்தையும் வழங்கும்.