விகிதமுறு எண்கள் மற்றும் அதன் பண்புகள்

கணித உலகில் எண்கள் மிக முக்கியமான அடிப்படை அலகுகள். இதில் 'விகிதமுறு எண்கள்' (Rational Numbers) என்பது மிக முக்கிய பங்கு வகிக்கிறது. அன்றாட வாழ்க்கையில் நாம் பயன்படுத்தும் பின்னங்கள், தசம எண்கள் என அனைத்தும் இந்த விகிதமுறு எண்களின் ஒரு பகுதியாகும். ஒரு மாணவர் போட்டித் தேர்வுகளில் வெற்றி பெற, இந்த அடிப்படை கருத்தாக்கங்களை ஆழமாகப் புரிந்துகொள்வது அவசியம்.

1. விகிதமுறு எண் - வரையறை

ஒரு எண்ணை p/q என்ற வடிவில் எழுத முடிந்தால், அது விகிதமுறு எண் எனப்படும். இங்கு p மற்றும் q என்பவை முழுக்கள் (Integers) ஆகும். மேலும், மிக முக்கியமான நிபந்தனை என்னவென்றால், q மதிப்பு சுழியாக (q ≠ 0) இருக்கக்கூடாது.

எடுத்துக்காட்டாக: 3/4, -5/7, 0, 8, -2 ஆகியவை விகிதமுறு எண்களாகும். இதில் 8 என்பதை 8/1 என்று எழுத முடியும். எனவே, அனைத்து இயல் எண்கள் மற்றும் முழு எண்களும் விகிதமுறு எண்களே.

நினைவில் கொள்ள வேண்டிய குறுக்குவழி: விகிதமுறு எண் = (பகுதியின் கீழ் பூஜ்ஜியம் வரக்கூடாது). p/q வடிவம் + q ≠ 0. நினைவில் கொள்ளுங்கள்: '0' ஒரு விகிதமுறு எண், ஏனெனில் 0/1, 0/5 என எழுதலாம். ஆனால் 5/0 என்பது வரையறுக்கப்படாதது (Undefined).

2. விகிதமுறு எண்களின் முக்கிய பண்புகள்

விகிதமுறு எண்களின் செயல்பாடுகளைப் புரிந்து கொள்ள சில அடிப்படைப் பண்புகளை நாம் தெரிந்து கொள்ள வேண்டும். இவை கூட்டல், கழித்தல், பெருக்கல் மற்றும் வகுத்தல் ஆகிய நான்கு செயல்பாடுகளுக்கும் பொருந்தும்.

அ) அடைவுப் பண்பு (Closure Property)

இரு விகிதமுறு எண்களைக் கூட்டும்போதோ, பெருக்கும்போதோ அல்லது கழிக்கும்போதோ கிடைக்கும் விடை ஒரு விகிதமுறு எண்ணாகவே இருக்கும். இதுவே அடைவுப் பண்பு எனப்படும்.

ஆ) பரிமாற்றுப் பண்பு (Commutative Property)

இரு எண்களைக் கூட்டும்போது வரிசையை மாற்றினாலும் விடை மாறாது. (எ.கா: a + b = b + a). இது விகிதமுறு எண்களின் கூட்டல் மற்றும் பெருக்கலுக்குப் பொருந்தும், ஆனால் கழித்தல் மற்றும் வகுத்தலுக்குப் பொருந்தாது.

இ) சேர்ப்புப் பண்பு (Associative Property)

மூன்று எண்களைக் கூட்டும்போதோ அல்லது பெருக்கும்போதோ, அவற்றை எந்த வரிசையில் இணைத்தாலும் விடை மாறாது. (எ.கா: (a + b) + c = a + (b + c)).

ஈ) பங்கீட்டுப் பண்பு (Distributive Property)

பெருக்கல் செயல்பாடானது கூட்டல் மற்றும் கழித்தலின் மீது பங்கீடு செய்யப்படுகிறது. a × (b + c) = (a × b) + (a × c).

3. விகிதமுறு எண்களின் கூட்டல் மற்றும் கழித்தல்

பின்னங்களைப் போலவே விகிதமுறு எண்களைக் கையாள வேண்டும். பகுதிகள் சமமாக இருந்தால், தொகுதிகளை நேரடியாகக் கூட்டலாம் அல்லது கழிக்கலாம். பகுதிகள் வெவ்வேறாக இருந்தால், மீச்சிறு பொது மடங்கு (LCM) கண்டு மாற்ற வேண்டும்.

எடுத்துக்காட்டு: 1/4 + 2/3

இங்கு 4 மற்றும் 3-ன் LCM = 12. எனவே, 3/12 + 8/12 = 11/12.

கணிதத் தந்திரம்: பின்னங்களைக் கூட்டும்போது குறுக்கு பெருக்கல் (Cross Multiplication) முறையைப் பயன்படுத்துங்கள்: (a/b) + (c/d) = (ad + bc) / bd. இது சிறிய எண்களுக்கு மிக விரைவான தீர்வைத் தரும்.

4. விகிதமுறு எண்களின் பெருக்கல் மற்றும் வகுத்தல்

பெருக்கல் மிகவும் எளிதானது. தொகுதியைத் தொகுதியாலும், பகுதியைத் பகுதியாலும் பெருக்க வேண்டும். வகுத்தலைப் பொறுத்தவரை, வகுக்கும் எண்ணின் தலைகீழியை எடுத்து பெருக்க வேண்டும்.

வகுத்தல் விதி: (a/b) ÷ (c/d) = (a/b) × (d/c).

5. விகிதமுறு எண்களின் தசம வடிவம்

ஒவ்வொரு விகிதமுறு எண்ணையும் தசம எண்ணாக மாற்ற முடியும். இது இரண்டு வகைப்படும்:

முடிவுறு தசமங்கள் (Terminating Decimals): மீதி பூஜ்ஜியம் வரும். எ.கா: 1/2 = 0.5.
மீளா தசமங்கள் (Non-terminating Repeating Decimals): மீதி மீண்டும் மீண்டும் வரும். எ.கா: 1/3 = 0.333... (இதனை 0.3̄ என எழுதலாம்).

6. எண்கோட்டில் விகிதமுறு எண்களைக் குறித்தல்

எண்கோட்டில் பூஜ்ஜியத்திற்கு வலதுபுறம் மிகை எண்களும், இடதுபுறம் குறை எண்களும் அமையும். ஒரு விகிதமுறு எண் 1-க்கும் 0-க்கும் இடையில் இருந்தால், அந்த இடைவெளியை பகுதியின் அளவுக்கு ஏற்ப சமமாகப் பிரித்து இடத்தைக் குறிக்க வேண்டும்.

7. விகிதமுறு எண்களுக்கு இடையேயான எண்கள்

எந்த இரு விகிதமுறு எண்களுக்கு இடையேயும் எண்ணற்ற விகிதமுறு எண்கள் உள்ளன. இரு எண்களுக்கு இடையே உள்ள எண்களைக் கண்டறிய (a + b) / 2 என்ற சராசரி சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தலாம்.

முக்கியமான குறிப்புகள்:

0 என்பது கூட்டல் சமனி (Additive Identity).
1 என்பது பெருக்கல் சமனி (Multiplicative Identity).
a/b-ன் கூட்டல் நேர்மாறு -a/b ஆகும்.
a/b-ன் பெருக்கல் நேர்மாறு (தலைகீழி) b/a ஆகும்.

8. போட்டித் தேர்வுகளுக்கான மாதிரி வினாக்கள்

வினா 1: 2/5 மற்றும் 3/4-க்கு இடையே உள்ள ஒரு விகிதமுறு எண்ணைக் காண்க.

தீர்வு: சராசரி முறையைப் பயன்படுத்தவும். (2/5 + 3/4) / 2 = (8+15)/20 / 2 = 23/20 / 2 = 23/40.

வினா 2: 0.777... என்பதை p/q வடிவில் எழுதுக.

தீர்வு: x = 0.777; 10x = 7.777. 10x - x = 7. எனவே 9x = 7; x = 7/9.

9. முடிவுரை

விகிதமுறு எண்களின் பண்புகள் கணிதத்தின் பிற தலைப்புகளான இயற்கணிதம் மற்றும் வடிவியலுக்கு அடித்தளமாகும். இந்த அடிப்படை விதிகளைப் புரிந்துகொண்டால், சிக்கலான கணக்குகளை நொடிகளில் தீர்க்க முடியும். தொடர் பயிற்சி மற்றும் இந்த பண்புகளை அடிக்கடி நினைவுபடுத்துவது போட்டித் தேர்வுகளில் அதிக மதிப்பெண்களைப் பெற உதவும்.

தேர்வு குறிப்பு: எப்போதும் கணக்குகளைத் தீர்க்கும்போது பகுதிகள் (Denominators) சமமாக இருக்கிறதா என்று சரிபார்க்கவும். இதுவே பெரும்பாலான தவறுகள் நடக்கும் இடம். கவனமாக இருங்கள்!

மேற்கண்ட தகவல்கள் விகிதமுறு எண்கள் குறித்த முழுமையான புரிதலை உங்களுக்கு வழங்கும். இவற்றைத் தெளிவாகக் குறிப்பு எடுத்துக்கொண்டு பயிற்சி செய்யுங்கள். கணிதம் என்பது மனப்பாடம் செய்வதல்ல, புரிந்துகொண்டு செயல்படுத்துவது.