எண்களில் அமைப்புகள் (Number Patterns)
கணிதத்தின் மிக சுவாரஸ்யமான மற்றும் அடிப்படையான பகுதி 'எண் அமைப்புகள்' ஆகும். எண்களின் வரிசைகளுக்கு இடையே உள்ள மறைமுகமான தொடர்புகளைக் கண்டறிவதே இதன் முக்கிய நோக்கமாகும். போட்டித் தேர்வுகளில் தர்க்க ரீதியான சிந்தனையை (Logical Reasoning) சோதிக்க இந்த தலைப்பு மிக முக்கியமானது.
எண் அமைப்புகளின் அடிப்படைகள்
எண் அமைப்புகள் என்பது ஒரு குறிப்பிட்ட விதியைப் பின்பற்றி வரிசையாக அமையும் எண்களின் தொகுப்பாகும். இந்த விதிகளைப் புரிந்துகொண்டால், அந்த வரிசையில் அடுத்து வரும் எண்ணை எளிதாகக் கண்டறியலாம்.
எண் வரிசைகளின் வகைகள்
- கூட்டல் வரிசை (Arithmetic Progression)
- பெருக்கல் வரிசை (Geometric Progression)
- வர்க்க மற்றும் கன எண்கள் (Square and Cube numbers)
- பகா எண்கள் (Prime Numbers)
- கலப்பு வரிசைகள் (Mixed Patterns)
கூட்டல் மற்றும் கழித்தல் வரிசைகள்
இந்த வரிசையில், ஒவ்வொரு எண்ணுக்கும் அடுத்த எண்ணுக்கும் இடையே உள்ள வித்தியாசம் மாறாமல் இருக்கும் அல்லது ஒரு குறிப்பிட்ட விதியைப் பின்பற்றி மாறும். உதாரணத்திற்கு, 2, 5, 8, 11, ... என்ற வரிசையை எடுத்துக்கொள்வோம். இங்கே ஒவ்வொரு எண்ணுடனும் 3 கூட்டப்படுகிறது. எனவே, அடுத்த எண் 14 ஆகும்.
படிநிலை பகுப்பாய்வு (Step Method)
ஒரு வரிசை சிக்கலாக இருந்தால், அந்த எண்களுக்கு இடையிலான வித்தியாசத்தை மீண்டும் ஒருமுறை வித்தியாசம் பார்க்கவும் (Double difference). இது பல கடினமான வினாக்களுக்கு எளிமையான தீர்வைத் தரும்.
| வரிசை | வித்தியாசம் 1 | வித்தியாசம் 2 |
|---|---|---|
| 3, 7, 13, 21, 31 | 4, 6, 8, 10 | 2, 2, 2 |
வர்க்க மற்றும் கன எண்கள் (Squares and Cubes)
போட்டித் தேர்வுகளுக்குத் தயாராகும் மாணவர்கள் 1 முதல் 30 வரையிலான வர்க்கங்களையும் (Squares), 1 முதல் 15 வரையிலான கனங்களையும் (Cubes) மனப்பாடம் செய்து வைத்திருப்பது நேரத்தை மிச்சப்படுத்தும்.
அமைப்புகள் பெரும்பாலும் n2, n2+1, n2-1 அல்லது n3, n3+1 போன்ற வடிவங்களில் அமையும். உதாரணமாக, 1, 4, 9, 16, 25 என்பது 12, 22, 32, 42, 52 ஆகியவற்றைக் குறிக்கிறது.
பகா எண்களின் முக்கியத்துவம் (Prime Numbers)
எண் அமைப்புகளில் பகா எண்கள் அடிக்கடி பயன்படுத்தப்படுகின்றன. 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29... ஆகிய எண்களை வரிசையாகப் பார்த்தாலே பல வினாக்களுக்கு விடை கிடைத்துவிடும். சில நேரங்களில் பகா எண்களுடன் ஒன்றைக் கூட்டியோ அல்லது கழித்தோ வரிசைகள் அமைக்கப்படும் (உதாரணம்: 3, 5, 7, 11... பகா எண்கள்; அல்லது 4, 6, 8, 12... பகா எண்கள் + 1).
கலப்பு மற்றும் தர்க்க ரீதியான அமைப்புகள்
சில வரிசைகள் இரண்டு வெவ்வேறு அமைப்புகளைக் கொண்டிருக்கலாம். அதாவது, ஒற்றைப்படை இடங்களில் ஒரு விதியும், இரட்டைப்படை இடங்களில் மற்றொரு விதியும் செயல்படும். இத்தகைய வினாக்களை அணுகும்போது, வரிசையை இரண்டாகப் பிரித்துப் பார்ப்பது சிறந்தது.
இங்கே இரண்டு வரிசைகள் உள்ளன:
வரிசை 1: 10, 15, 20 (+5)
வரிசை 2: 20, 25, 30 (+5)
இந்த தர்க்கத்தைப் பயன்படுத்தி அடுத்த எண்ணை எளிதாகக் கண்டறியலாம்.
தேர்வுக்கான தயாரிப்பு உத்திகள்
எண் அமைப்புகளைக் கையாளும் போது பின்வரும் படிகளைப் பின்பற்றவும்:
- வரிசை ஏறுவரிசையா அல்லது இறங்குவரிசையா என்று கவனியுங்கள்.
- வித்தியாசம் மிக வேகமாக அதிகரித்தால், அது பெருக்கல் அல்லது வர்க்க வரிசையாக இருக்க வேண்டும்.
- வித்தியாசம் சீராக இருந்தால், அது கூட்டல் அல்லது கழித்தல் வரிசையாக இருக்க வேண்டும்.
- எண்களின் இலக்கங்களின் கூட்டுத்தொகை (Sum of digits) ஏதேனும் விதியைப் பின்பற்றுகிறதா என்று சோதிக்கவும்.
முக்கிய பயிற்சி அட்டவணை
| வகை | உதாரண வரிசை | தர்க்கம் |
|---|---|---|
| கூட்டல் | 5, 10, 15, 20 | +5 |
| பெருக்கல் | 2, 6, 18, 54 | ×3 |
| வர்க்கம் | 1, 4, 9, 16 | n2 |
| கனம் | 1, 8, 27, 64 | n3 |
தீர்வு காணும் முறை - மாதிரி வினா
வினா: 2, 3, 5, 7, 11, ?
தீர்வு: கொடுக்கப்பட்டவை பகா எண்கள். எனவே 11-க்கு அடுத்த பகா எண் 13 ஆகும்.
வினா: 1, 8, 27, 64, ?
தீர்வு: இவை முறையே 13, 23, 33, 43. எனவே அடுத்து வருவது 53 = 125.
இந்த பாடத்தில் கொடுக்கப்பட்டுள்ள அனைத்து தர்க்கங்களையும் மீண்டும் மீண்டும் பயிற்சி செய்வது தேர்வில் வெற்றி பெற உதவும். எண்களின் அமைப்பைப் புரிந்துகொள்வது என்பது வெறும் கணக்கு மட்டுமல்ல, அது உங்கள் மூளையின் வேகத்தை அதிகரிக்கும் ஒரு பயிற்சியும் கூட.
அடுத்தடுத்த தலைப்புகளில் நாம் இன்னும் சிக்கலான எண் புதிர்களைப் பார்ப்போம். தொடர் பயிற்சியே உங்கள் வெற்றிக்கான திறவுகோல்.