நேரம், வேலை மற்றும் தூரம் (Time, Work and Distance)

போட்டித் தேர்வுகளில் கணிதப் பகுதியில் மிக முக்கியமான மற்றும் அதிக மதிப்பெண்களைப் பெற்றுத் தரக்கூடிய தலைப்புகளில் 'நேரம், வேலை மற்றும் தூரம்' முதன்மையானது. இந்த தலைப்பின் அடிப்படைகளைச் சரியாகப் புரிந்துகொண்டால், சிக்கலான கணக்குகளைக் கூட மிக விரைவாகத் தீர்க்க முடியும். இந்த அத்தியாயத்தில், நாம் நேரடித் தொடர்புகள், நேர்மாறான தொடர்புகள் மற்றும் தேர்வில் கேட்கப்படும் பல்வேறு வகை வினாக்களை விரிவாகக் காண்போம்.

1. நேரம் மற்றும் வேலை (Time and Work)

வேலை மற்றும் நேரம் ஆகியவற்றுக்கு இடையிலான அடிப்படைத் தொடர்பை முதலில் புரிந்துகொள்வோம். ஒரு நபர் ஒரு வேலையைச் செய்ய எடுத்துக்கொள்ளும் நேரமும், அந்த வேலையின் திறனும் நேர்மாறான விகிதத்தில் (Inverse Proportion) இருக்கும்.

அடிப்படை சூத்திரங்கள்

ஒரு நபர் 'A' என்பவர் ஒரு வேலையை 'x' நாட்களில் முடிக்கிறார் என்றால், ஒரு நாளில் அவர் செய்யும் வேலை 1/x ஆகும். இதுவே அடிப்படைத் தத்துவமாகும். இரண்டு நபர்கள் இணைந்து வேலை செய்யும்போது, அவர்களின் ஒரு நாள் வேலைகளைக் கூட்ட வேண்டும்.

எடுத்துக்காட்டாக, A ஒரு வேலையை 10 நாட்களிலும், B அதே வேலையை 15 நாட்களிலும் முடிப்பார்கள் என்றால், இருவரும் இணைந்து அந்த வேலையை முடிக்கத் தேவைப்படும் காலம்:

இருவரின் ஒரு நாள் வேலை = 1/10 + 1/15 = (3+2)/30 = 5/30 = 1/6

எனவே, இருவரும் சேர்ந்து அந்த வேலையை 6 நாட்களில் முடிப்பார்கள்.

2. சங்கிலித் தொடர் விதி (Chain Rule)

தேர்வுகளில் அடிக்கடி கேட்கப்படும் வினாக்களில் ஒன்று, நபர்களின் எண்ணிக்கை மற்றும் நாட்கள் மாறுபடும் போது வேலை எப்படிப் பாதிக்கப்படுகிறது என்பதுதான். இதற்கு கீழ்க்கண்ட சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்த வேண்டும்:

(M₁ × D₁ × H₁) / W₁ = (M₂ × D₂ × H₂) / W₂

இங்கு M = நபர்கள் (Men), D = நாட்கள் (Days), H = மணிநேரம் (Hours), W = வேலை (Work).

பயன்பாட்டு உதாரணம்

10 ஆட்கள் ஒரு வேலையை 12 நாட்களில் முடித்தால், 15 ஆட்கள் அதே வேலையை எத்தனை நாட்களில் முடிப்பார்கள்?

M₁=10, D₁=12, M₂=15, D₂=?

10 × 12 = 15 × D₂

D₂ = 120 / 15 = 8 நாட்கள்.

3. நேரம் மற்றும் தூரம் (Time and Distance)

நேரம், வேகம் மற்றும் தூரம் ஆகியவற்றுக்கு இடையிலான தொடர்பு இயற்பியலின் அடிப்படைக் கோட்பாடாகும். இதற்கான தொடர்பு:

தூரம் = வேகம் × நேரம் (Distance = Speed × Time)

சராசரி வேகம் (Average Speed)

ஒரு நபர் A இடத்திலிருந்து B இடத்திற்கு 'x' கி.மீ வேகத்திலும், மீண்டும் B-லிருந்து A-க்கு 'y' கி.மீ வேகத்திலும் சென்றால், அவரது சராசரி வேகம்:

சராசரி வேகம் = (2xy) / (x+y)

4. புகையிரதம் (Trains) தொடர்பான கணக்குகள்

புகையிரதம் ஒரு கம்பத்தையோ அல்லது மனிதனையோ கடக்கும்போது, அது கடக்கும் தூரம் அதன் நீளத்திற்குச் சமம். புகையிரதம் ஒரு நடைமேடையைக் (Platform) கடக்கும்போது, அது கடக்கும் தூரம் (புகையிரதத்தின் நீளம் + நடைமேடையின் நீளம்) ஆகும்.

5. தேர்வுக்கான நுணுக்கங்கள் மற்றும் பயிற்சி

தேர்வில் வெற்றி பெற, நீங்கள் பின்வரும் படிகளைப் பின்பற்ற வேண்டும்:

1. வினாவை முதலில் முழுமையாகப் படியுங்கள்.
2. கொடுக்கப்பட்ட தரவுகளைப் பட்டியலிடுங்கள்.
3. LCM முறையைப் பயன்படுத்தித் திறனைக் கண்டறியுங்கள் (இது நேரத்தை மிச்சப்படுத்தும்).
4. எதிர் திசை அல்லது ஒரே திசை என்பதைச் சரிபார்த்து வேகத்தைக் கணக்கிடுங்கள்.

வேலை மற்றும் நேரம் தொடர்பான வினாக்களில் "A வேலையை விட்டு விலகுகிறார்" அல்லது "சில நாட்கள் கழித்து B சேருகிறார்" போன்ற வினாக்கள் வரும்போது, மொத்த வேலையிலிருந்து அவர்கள் செய்த வேலையைக் கழித்துவிட்டு, மீதமுள்ள வேலையை யார் செய்ய வேண்டுமோ அவர்களின் திறனால் வகுக்க வேண்டும். இதுவே மிக எளிமையான அணுகுமுறையாகும்.

தூரம் தொடர்பான வினாக்களில், கடிகாரத்தின் முட்கள் அல்லது புகையிரதத்தின் சந்திப்பு போன்ற வினாக்கள் வந்தால், சார்பு வேகத்தை (Relative Speed) கணக்கில் கொள்வது மிக அவசியம். இரு புகையிரதங்கள் எதிர் திசையில் வந்தால் வேகத்தைக் கூட்ட வேண்டும், ஒரே திசையில் வந்தால் வேகத்தைக் கழிக்க வேண்டும். இந்த ஒரு விதியை மட்டும் சரியாக நினைவில் கொண்டால், புகையிரதம் தொடர்பான அனைத்து வினாக்களையும் எளிதாகத் தீர்க்கலாம்.

கணிதத் திறனை மேம்படுத்த, தினமும் குறைந்தது 5 கணக்குகளை நேரத்தைக் குறித்து (Stopwatch) செய்து பாருங்கள். இது உங்கள் வேகத்தையும் துல்லியத்தையும் அதிகரிக்கும். போட்டித் தேர்வுகளில் வெற்றி என்பது நீங்கள் எவ்வளவு கடினமாக உழைக்கிறீர்கள் என்பதில் மட்டுமல்ல, எவ்வளவு புத்திசாலித்தனமாக (Smart Work) நேரத்தை மேலாண்மை செய்கிறீர்கள் என்பதில்தான் உள்ளது.