பரப்பு, கொள்ளளவு, காலம் மற்றும் வேலை - முழுமையான வழிகாட்டி
போட்டித் தேர்வுகளில் 'காலம் மற்றும் வேலை' (Time and Work) மற்றும் 'பரப்பு/கொள்ளளவு' (Area and Volume) ஆகிய தலைப்புகள் மிக முக்கியமானவை. இவை தர்க்கரீதியான சிந்தனையையும், கணித சூத்திரங்களை கையாளும் திறனையும் சோதிக்கின்றன. இந்த அத்தியாயத்தில் நாம் அடிப்படை முதல் மேம்பட்ட நிலைகள் வரை விரிவாகக் காண்போம்.
பகுதி 1: காலம் மற்றும் வேலை (Time and Work)
காலம் மற்றும் வேலை என்ற தலைப்பில் அடிப்படைத் தத்துவம் என்னவென்றால், ஒரு நபர் செய்யும் வேலையின் அளவு அவர் எடுத்துக்கொள்ளும் காலத்திற்கு நேர்மாறான விகிதத்தில் இருக்கும். அதாவது, ஒருவர் வேலையை வேகமாகச் செய்தால், அவர் எடுத்துக்கொள்ளும் காலம் குறைவாக இருக்கும்.
அடிப்படை சூத்திரங்கள் மற்றும் தர்க்கம்
- வேலை = திறன் × காலம்
- திறன் = வேலை / காலம்
- காலம் = வேலை / திறன்
பல்வேறு நபர்கள் மற்றும் குழுக்கள்
பல நபர்கள் ஒரு வேலையைச் செய்யும்போது, M1D1H1/W1 = M2D2H2/W2 என்ற சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்த வேண்டும். இங்கே M என்பது நபர்கள், D என்பது நாட்கள், H என்பது நேரம், W என்பது வேலை.
பகுதி 2: பரப்பு மற்றும் கொள்ளளவு (Area and Volume)
பரப்பு என்பது இரு பரிமாண வடிவங்களின் (2D) பரப்பளவைக் குறிக்கும். கொள்ளளவு என்பது முப்பரிமாண வடிவங்களின் (3D) உட்புற இடத்தைக் குறிக்கும்.
இரு பரிமாண வடிவங்கள் (2D Shapes)
| வடிவம் | பரப்பளவு (Area) | சுற்றளவு (Perimeter) |
|---|---|---|
| செவ்வகம் | நீளம் × அகலம் (l × b) | 2(l + b) |
| சதுரம் | பக்கம் × பக்கம் (a²) | 4a |
| முக்கோணம் | 1/2 × அடிமானம் × உயரம் | மூன்று பக்கங்களின் கூடுதல் |
| வட்டம் | πr² | 2πr |
முப்பரிமாண வடிவங்கள் (3D Shapes)
கொள்ளளவு (Volume) கணக்கிடும்போது அலகு 'கன அலகுகள்' (cubic units) என இருக்க வேண்டும்.
- கனசதுரம் (Cube): கொள்ளளவு = a³
- கனசெவ்வகம் (Cuboid): கொள்ளளவு = l × b × h
- உருளை (Cylinder): கொள்ளளவு = πr²h
பகுதி 3: கூட்டு வேலை மற்றும் திறன் சிக்கல்கள்
வேலை மற்றும் காலத்தின் மேம்பட்ட நிலைகளில், ஒருவர் வேலையை விட்டுச் செல்வது அல்லது இடையில் சேர்வது போன்ற வினாக்கள் கேட்கப்படுகின்றன. இதைத் தீர்க்க, மொத்த வேலையை 1 என எடுத்துக்கொள்ளாமல், கொடுக்கப்பட்ட நாட்களின் மீச்சிறு பொது மடங்கு (LCM) மதிப்பை மொத்த வேலையாகக் கொள்வது எளிது.
எடுத்துக்காட்டு கணக்கு
A என்பவர் ஒரு வேலையை 10 நாட்களிலும், B என்பவர் 15 நாட்களிலும் முடிப்பார். இருவரும் சேர்ந்து வேலை செய்தால் எத்தனை நாட்களில் முடிப்பார்கள்?
தீர்வு: 10 மற்றும் 15-ன் மீ.பொ.ம = 30. இதுவே மொத்த வேலை. A-ன் திறன் = 30/10 = 3 அலகுகள்/நாள். B-ன் திறன் = 30/15 = 2 அலகுகள்/நாள். இருவரின் மொத்த திறன் = 3+2 = 5 அலகுகள். தேவைப்படும் நாட்கள் = 30/5 = 6 நாட்கள்.
பகுதி 4: குழாய்கள் மற்றும் தொட்டிகள் (Pipes and Cisterns)
இது காலம் மற்றும் வேலையின் மற்றொரு வடிவம். இங்கே ஒரு குழாய் தொட்டியை நிரப்பினால் அது நேர்மறை வேலை (+), தண்ணீர் வெளியேறினால் அது எதிர்மறை வேலை (-).
பகுதி 5: தேர்வுக்கான முக்கிய குறிப்புகள் மற்றும் நினைவாற்றல் நுட்பங்கள்
தேர்வில் நேரத்தை மிச்சப்படுத்த சில அடிப்படைகளை மனப்பாடம் செய்ய வேண்டும்:
- 1 முதல் 20 வரையிலான வர்க்கங்கள் (Squares) மற்றும் கனங்களை (Cubes) மனப்பாடம் செய்யுங்கள்.
- வட்டத்தின் சுற்றளவு மற்றும் பரப்பளவு சூத்திரங்களை அடிக்கடி எழுதிப் பாருங்கள்.
- காலம் மற்றும் வேலை கணக்குகளில் 'மீ.பொ.ம' (LCM) முறையில் கணக்கிடுவது பிழைகளைத் தவிர்க்கும்.
- அலகுகளை (Units) கவனிப்பது அவசியம் (மீட்டர், சென்டிமீட்டர் மாற்றம்).
பகுதி 6: பயிற்சி மற்றும் பகுப்பாய்வு
ஒவ்வொரு நாளும் குறைந்தது 10 கணக்குகளைப் பயிற்சி செய்வது உங்களை வேகமான கணக்கீட்டிற்கு அழைத்துச் செல்லும். முந்தைய ஆண்டு வினாத்தாள்களை அணுகும்போது, எந்தெந்த தலைப்புகளில் அதிகக் கேள்விகள் வருகின்றன என்பதைக் குறித்து வைத்துக்கொள்ளுங்கள்.
இந்த விரிவான வழிகாட்டி, உங்கள் குடிமைப் பணிகள் தேர்விற்கான அடிப்படை மற்றும் மேம்பட்ட கணித அறிவை வலுப்படுத்தும். தொடர்ந்து பயிற்சி செய்யுங்கள், வெற்றி நிச்சயம்.