பின்னங்கள் (Fractions) - ஒரு முழுமையான அறிமுகம்

கணிதத்தில் 'பின்னம்' என்பது ஒரு முழுமையான பொருளின் ஒரு பகுதியைக் குறிப்பதாகும். அன்றாட வாழ்வில் நாம் ஒரு பொருளைப் பகிர்ந்து கொள்ளும்போதும், அளவீடுகளைக் கணக்கிடும்போதும் பின்னங்கள் மிக முக்கியப் பங்கு வகிக்கின்றன. ஒரு முழு எண்ணால் குறிக்க முடியாத மதிப்புகளை பின்னங்கள் மூலம் மிகத் துல்லியமாக நாம் வெளிப்படுத்த முடியும்.

1. பின்னத்தின் அடிப்படை அமைப்பு

ஒரு பின்னத்தை நாம் இரண்டு எண்களின் விகிதமாக எழுதுகிறோம். ஒரு கோட்டின் மேல் ஒரு எண்ணும், கீழ் ஒரு எண்ணும் இருக்கும். இதனைப் பின்வருமாறு பிரிக்கலாம்:

• தொகுதி (Numerator): கோட்டிற்கு மேல் உள்ள எண். இது நாம் எடுத்துக்கொண்ட பகுதிகளின் எண்ணிக்கையைக் குறிக்கிறது.
• பகுதி (Denominator): கோட்டிற்கு கீழ் உள்ள எண். இது ஒரு முழுப்பொருள் எத்தனை சம பகுதிகளாகப் பிரிக்கப்பட்டுள்ளது என்பதைக் குறிக்கிறது.

2. பின்னங்களின் வகைகள்

பின்னங்களை அவற்றின் மதிப்பு மற்றும் அமைப்பின் அடிப்படையில் பல வகைகளாகப் பிரிக்கலாம். தேர்வு நோக்கில் இவை மிக முக்கியமானவை.

அ) தகு பின்னம் (Proper Fraction)

தொகுதி, பகுதியை விடச் சிறியதாக இருந்தால் அது தகு பின்னம் எனப்படும். இதன் மதிப்பு எப்போதும் 1-ஐ விடக் குறைவாகவே இருக்கும். (உதாரணம்: 2/5, 3/7, 1/4).

ஆ) தகா பின்னம் (Improper Fraction)

தொகுதி, பகுதியை விடப் பெரியதாகவோ அல்லது சமமாகவோ இருந்தால் அது தகா பின்னம் எனப்படும். இதன் மதிப்பு 1 அல்லது அதற்கு மேல் இருக்கும். (உதாரணம்: 5/2, 9/4, 7/7).

இ) கலப்பு பின்னம் (Mixed Fraction)

ஒரு முழு எண்ணும், ஒரு தகு பின்னமும் இணைந்து வருவது கலப்பு பின்னம் எனப்படும். (உதாரணம்: 2 1/3, 5 3/4).

3. தகா பின்னத்தை கலப்பு பின்னமாக மாற்றுதல்

தகா பின்னத்தை கலப்பு பின்னமாக மாற்ற, தொகுதியை பகுதியால் வகுக்க வேண்டும். கிடைக்கும் ஈவு (Quotient) முழு எண்ணாகவும், மீதி (Remainder) தொகுதியாகவும், வகுக்கும் எண் பகுதியாகவும் அமையும்.

முறை: 7/3-ஐ மாற்றினால்:

• 7-ஐ 3-ஆல் வகுக்க வேண்டும்.
• 7 ÷ 3 = 2 (ஈவு), மீதி 1.
• எனவே, விடை: 2 1/3.

4. சம பின்னங்கள் (Equivalent Fractions)

பின்னங்களின் தொகுதியையும் பகுதியையும் ஒரே பூஜ்ஜியமற்ற எண்ணால் பெருக்குவதாலோ அல்லது வகுப்பதாலோ கிடைக்கும் பின்னங்கள் சம பின்னங்கள் எனப்படும். இவற்றின் மதிப்பு மாறாது.

உதாரணம்: 1/2 = 2/4 = 4/8 = 5/10. இவை அனைத்தும் ஒரே மதிப்பையே குறிக்கின்றன.

5. பின்னங்களை ஒப்பிடுதல் மற்றும் வரிசைப்படுத்துதல்

பகுதிகள் சமமாக இருந்தால், பெரிய தொகுதியைக் கொண்ட பின்னமே பெரியது. பகுதிகள் வேறாக இருந்தால், குறுக்குப் பெருக்கல் (Cross Multiplication) முறை சிறந்தது.

உதாரணம்: 2/3 மற்றும் 3/4-இல் எது பெரியது?

• 2 x 4 = 8
• 3 x 3 = 9
• 9 பெரியது என்பதால், 3/4 தான் பெரிய பின்னம்.

6. பின்னங்களின் கூட்டல் மற்றும் கழித்தல்

பகுதிகள் சமமாக இருந்தால், தொகுதிகளை மட்டும் கூட்டி அல்லது கழித்து, அதே பகுதியை கீழே எழுத வேண்டும்.

கூட்டல்: 2/5 + 1/5 = (2+1)/5 = 3/5.

பகுதிகள் வேறாக இருந்தால், மீச்சிறு பொது மடங்கு (LCM) கண்டு பகுதிகளைச் சமப்படுத்த வேண்டும்.

7. பின்னங்களின் பெருக்கல் மற்றும் வகுத்தல்

பெருக்கல்:

தொகுதிகளைத் தொகுதியுடனும், பகுதிகளைப் பகுதியுடனும் பெருக்க வேண்டும்.

உதாரணம்: (2/3) x (4/5) = (2x4) / (3x5) = 8/15.

வகுத்தல்:

வகுக்கும் பின்னத்தின் தலைகீழியை (Reciprocal) எடுத்து பெருக்க வேண்டும்.

உதாரணம்: (1/2) ÷ (1/4) = (1/2) x (4/1) = 4/2 = 2.

8. அன்றாட வாழ்க்கையில் பின்னங்கள்

பின்னங்கள் வெறும் கணக்குகள் மட்டுமல்ல. நேரத்தைக் குறிப்பிடும்போது (அரை மணி நேரம் - 1/2, கால் மணி நேரம் - 1/4), வணிகத்தில் (கால் கிலோ, அரை கிலோ), மற்றும் கட்டுமானத் துறையிலும் இவை அன்றாடம் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. பின்னங்களைப் புரிந்து கொள்வது நிதி மேலாண்மைக்கும், சதவீதக் கணக்கீடுகளுக்கும் (Percentages) அடிப்படையாகும்.

9. பயிற்சி வினாக்கள் (சுய மதிப்பீடு)

1. 5/8 என்ற பின்னத்தை தகா பின்னமாக மாற்ற முடியுமா? (விடை: முடியாது, இது ஒரு தகு பின்னம்).
2. 12/5-ஐ கலப்பு பின்னமாக மாற்றுக. (விடை: 2 2/5).
3. 3/4 + 1/2-ன் மதிப்பு என்ன? (விடை: 5/4 அல்லது 1 1/4).

இந்த அடிப்படைத் தகவல்கள் பின்னங்கள் குறித்த பயத்தைப் போக்கி, தேர்வுகளில் எளிதாக மதிப்பெண் பெற உதவும். ஒவ்வொரு படிநிலையிலும் கவனமாகச் செயல்படுவது பின்னக் கணக்குகளில் முழு மதிப்பெண்களைப் பெற்றுத் தரும்.