முழு எண்கள் மற்றும் அதன் பண்புகள்

கணிதவியலில் எண்கள் என்பவை அடிப்படை கட்டுமான கற்கள் ஆகும். இதில் 'முழு எண்கள்' (Whole Numbers) என்பது மிக முக்கியமான ஒரு தொகுப்பாகும். இயல் எண்களுடன் பூஜ்ஜியத்தைச் சேர்க்கும்போது கிடைப்பது முழு எண்கள் ஆகும். இந்த அத்தியாயத்தில் முழு எண்களின் வரையறை, அவற்றின் வகைப்பாடுகள் மற்றும் அடிப்படைப் பண்புகளை விரிவாகக் காண்போம்.

1. முழு எண்கள் - ஓர் அறிமுகம்

இயல் எண்கள் (Natural Numbers) என்பவை 1, 2, 3, 4... எனத் தொடங்குபவை. இவற்றை 'எண்ணும் எண்கள்' என்றும் அழைப்பர். இந்தத் தொகுப்பில் பூஜ்ஜியத்தை (0) இணைக்கும்போது, அது முழு எண்களின் தொகுப்பாக மாறுகிறது. முழு எண்களின் தொகுப்பை ஆங்கிலத்தில் 'W' (Whole Numbers) என்ற எழுத்தால் குறிப்போம்.

முழு எண்களின் தொகுப்பு: W = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}

2. முழு எண்களின் அடிப்படைப் பண்புகள்

முழு எண்களின் செயல்பாடுகளைப் புரிந்துகொள்ள அவற்றின் அடிப்படைப் பண்புகள் மிக அவசியமானவை. கூட்டல் மற்றும் பெருக்கலைப் பொறுத்து முழு எண்களுக்குப் பின்வரும் பண்புகள் உள்ளன.

அ) அடைவுப் பண்பு (Closure Property)

இரு முழு எண்களைக் கூட்டினாலோ அல்லது பெருக்கினாலோ கிடைக்கும் விடை ஒரு முழு எண்ணாகவே இருக்கும். உதாரணமாக, 5 + 3 = 8 (முழு எண்), 4 × 2 = 8 (முழு எண்). ஆனால், கழித்தல் மற்றும் வகுத்தலில் இந்தப் பண்பு எப்போதும் பொருந்தாது.

ஆ) பரிமாற்றுப் பண்பு (Commutative Property)

இரு எண்களை எந்த வரிசையில் கூட்டினாலும் அல்லது பெருக்கினாலும் விடை மாறாது.
கூட்டல்: a + b = b + a (உதாரணம்: 2 + 3 = 3 + 2 = 5)
பெருக்கல்: a × b = b × a (உதாரணம்: 4 × 5 = 5 × 4 = 20)

இ) சேர்ப்புப் பண்பு (Associative Property)

மூன்று முழு எண்களைக் கூட்டும்போது, அவற்றை எந்தக் குழுக்களாகப் பிரித்துக் கூட்டினாலும் விடை மாறாது.
(a + b) + c = a + (b + c)
(2 + 3) + 4 = 5 + 4 = 9; 2 + (3 + 4) = 2 + 7 = 9.

3. கூட்டல் மற்றும் பெருக்கலின் சமனிப் பண்புகள்

முழு எண்களில் சமனி (Identity) என்பது ஒரு எண்ணின் மதிப்பை மாற்றாத மற்றொரு எண்ணைக் குறிக்கும்.

4. பங்கீட்டுப் பண்பு (Distributive Property)

பெருக்கலானது கூட்டலின் மீது பங்கீடு செய்யப்படுகிறது. இது கணக்கீடுகளை எளிதாக்கப் பயன்படுகிறது.
a × (b + c) = (a × b) + (a × c)
உதாரணம்: 5 × (10 + 2) = (5 × 10) + (5 × 2) = 50 + 10 = 60.

5. முழு எண்களின் வரிசை முறை

முழு எண்களை எண் கோட்டில் (Number Line) குறிக்க முடியும். எண் கோட்டில் வலதுபுறம் செல்லச் செல்ல எண்களின் மதிப்பு கூடும். பூஜ்ஜியமே மிகச்சிறிய முழு எண் ஆகும். முழு எண்களுக்கு முடிவு கிடையாது, அவை முடிவில்லாமல் நீண்டு கொண்டே செல்லும்.

6. பூஜ்ஜியத்தின் சிறப்பம்சங்கள்

பூஜ்ஜியம் கணிதத்தில் ஒரு புரட்சிகரமான கண்டுபிடிப்பு. இதன் பண்புகளைக் கீழே காண்போம்:

1. எந்த எண்ணுடன் 0-வை கூட்டினாலும் அதே எண் வரும்.
2. எந்த எண்ணிலிருந்து 0-வை கழித்தாலும் அதே எண் வரும்.
3. எந்த எண்ணையும் 0-வால் பெருக்கினால் விடை 0 ஆகும்.
4. எந்த எண்ணையும் 0-வால் வகுப்பது வரையறுக்கப்படவில்லை (Undefined).

7. பயிற்சி வினாக்களும் தீர்வுகளும்

கேள்வி 1: மிகச்சிறிய முழு எண் எது?

தீர்வு: முழு எண்கள் 0-வில் தொடங்குவதால், மிகச்சிறிய முழு எண் 0 ஆகும்.

கேள்வி 2: 12 × (100 + 5) என்பதைப் பங்கீட்டுப் பண்பைப் பயன்படுத்தித் தீர்க்கவும்.

தீர்வு: 12 × 100 + 12 × 5 = 1200 + 60 = 1260.

8. முழு எண்களில் வகுத்தல்

முழு எண்களில் வகுத்தல் என்பது பெருக்கலுக்கு நேர்மாறானது. ஆனால், முழு எண்களின் தொகுப்பில் வகுத்தல் எப்போதும் அடைவுப் பண்பைப் பெற்றிருக்காது. உதாரணமாக, 5-ஐ 2-ஆல் வகுத்தால் கிடைப்பது 2.5, இது ஒரு முழு எண் அல்ல. எனவே, முழு எண்களில் வகுத்தலுக்குச் சில கட்டுப்பாடுகள் உள்ளன.

9. எண் கோடு மற்றும் அதன் பயன்கள்

எண் கோடு என்பது முழு எண்களைக் காட்சிப்படுத்த உதவும் ஒரு நேர்க்கோடு. 0, 1, 2, 3 எனச் சம இடைவெளியில் புள்ளிகள் குறிக்கப்படுகின்றன. கூட்டல் மற்றும் கழித்தலை எண் கோட்டின் மூலம் மிக எளிதாகச் செய்ய முடியும். கூட்டல் என்றால் வலதுபுறம் செல்ல வேண்டும், கழித்தல் என்றால் இடதுபுறம் செல்ல வேண்டும்.

10. தேர்வு நோக்கில் முக்கியத் தகவல்கள்

போட்டித் தேர்வுகளில் கேட்கப்படும் கேள்விகளுக்குப் பின்வரும் அட்டவணை உதவும்:

முழு எண்கள் குறித்த இந்த அடிப்படை அறிவு, கணிதத்தின் அடுத்தடுத்த நிலைகளான முழுக்கள் (Integers), விகிதமுறு எண்கள் (Rational Numbers) போன்றவற்றைப் புரிந்துகொள்ள அடித்தளமாக அமையும். ஒவ்வொரு பண்பையும் உதாரணங்களுடன் பயிற்சி செய்வது தேர்வில் முழு மதிப்பெண்களைப் பெற உதவும்.