முறைப்படுத்தப்பட்ட பட்டியல் மற்றும் எண்ணுதல் (Systematic Listing and Counting)
கணிதத்தின் மிக முக்கியமான மற்றும் அடிப்படைப் பிரிவுகளில் ஒன்று 'எண்ணுதல்' (Counting) ஆகும். ஒரு குறிப்பிட்ட நிபந்தனைக்கு உட்பட்டு எத்தனை வழிகளில் ஒரு செயலைச் செய்ய முடியும் அல்லது எத்தனை பொருட்களை அடுக்க முடியும் என்பதைத் தீர்மானிப்பதே இதன் நோக்கம். போட்டித் தேர்வுகளில் வரிசைமாற்றம் (Permutation) மற்றும் சேர்மானம் (Combination) ஆகியவற்றின் அடித்தளமாக இந்த முறைப்படுத்தப்பட்ட பட்டியல் அமைகிறது.
1. அடிப்படை எண்ணுதல் கொள்கைகள் (Fundamental Principles of Counting)
எண்ணுதல் முறையை நாம் இரண்டு முக்கிய விதிகளின் கீழ் பிரிக்கலாம். இவைதான் சிக்கலான கணக்குகளை எளிமையாகத் தீர்க்க உதவுகின்றன.
அ) கூட்டல் விதி (Addition Principle)
ஒரு செயலை 'A' என்ற வழியில் 'm' முறைகளும், 'B' என்ற வழியில் 'n' முறைகளும் செய்ய முடியும் என்றால், அந்த இரண்டு செயல்களையும் ஒரே நேரத்தில் செய்ய முடியாது எனில் (ஒன்று அல்லது மற்றொன்று), மொத்த வழிகளின் எண்ணிக்கை = m + n ஆகும்.
ஆ) பெருக்கல் விதி (Multiplication Principle)
ஒரு செயலை 'm' வழிகளிலும், அதைத் தொடர்ந்து மற்றொரு செயலை 'n' வழிகளிலும் செய்ய முடியும் என்றால், அந்த இரண்டு செயல்களையும் வரிசையாகச் செய்ய மொத்த வழிகளின் எண்ணிக்கை = m × n ஆகும்.
- 'அல்லது' (OR) என்று வந்தால் கூட்டவும் (+).
- 'மற்றும்' (AND) என்று வந்தால் பெருக்கவும் (×).
2. முறைப்படுத்தப்பட்ட பட்டியல் முறைகள் (Systematic Listing Methods)
குறைந்த எண்ணிக்கையிலான பொருட்களைக் கையாளும் போது, அவற்றை வரிசைப்படுத்தி எழுதுவது பிழைகளைத் தவிர்க்க உதவும். இதற்கான சில முக்கிய உத்திகள் கீழே கொடுக்கப்பட்டுள்ளன:
அ) மர வரைபடம் (Tree Diagram)
ஒரு செயலின் கிளைகளை வரைபடமாக வரைந்து, அதன் இறுதி முடிவுகளை எண்ணுவது. உதாரணமாக, ஒரு நாணயத்தைச் சுண்டும்போது கிடைக்கும் முடிவுகளைக் கண்டறிய இது மிகச்சிறந்தது.
ஆ) அட்டவணை முறை (Tabular Method)
இரண்டு மாறிகள் இருக்கும்போது (எ.கா: இரண்டு பகடைகளை உருட்டுதல்), ஒரு அட்டவணையைப் பயன்படுத்துவது மிகச் சிறந்த வழியாகும்.
| பகடை 1 \ பகடை 2 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | (1,1) | (1,2) | (1,3) | (1,4) | (1,5) | (1,6) |
| 2 | (2,1) | (2,2) | (2,3) | (2,4) | (2,5) | (2,6) |
3. வரிசைமாற்றம் (Permutations)
பொருட்களை ஒரு குறிப்பிட்ட வரிசையில் அடுக்குவதே வரிசைமாற்றம் ஆகும். இதில் வரிசை (Order) மிக முக்கியமானது.
n பொருட்களில் r பொருட்களைத் தேர்ந்தெடுத்து அடுக்கும் முறை: nPr = n! / (n - r)!
இங்கு n! (n factorial) என்பது 1 முதல் n வரையிலான எண்களின் பெருக்கற்பலன் ஆகும். எடுத்துக்காட்டாக: 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120.
4. சேர்மானம் (Combinations)
பொருட்களைத் தேர்ந்தெடுப்பதில் மட்டும் கவனம் செலுத்தி, வரிசையைக் கருத்தில் கொள்ளாதது சேர்மானம் ஆகும். குழுக்களை உருவாக்க இது பயன்படுகிறது.
n பொருட்களில் r பொருட்களைத் தேர்ந்தெடுக்கும் முறை: nCr = n! / [r! × (n - r)!]
வரிசை முக்கியமெனில் (எ.கா: கடவுச்சொல் உருவாக்கம், இருக்கை அமர்வு) -> வரிசைமாற்றம் (P).
தேர்வு மட்டும் முக்கியமெனில் (எ.கா: குழு அமைத்தல், கைகுலுக்குதல்) -> சேர்மானம் (C).
5. எண்ணுதல் கணக்குகளை அணுகும் விதம் (Step-by-Step Approach)
எந்தவொரு எண்ணுதல் கணக்கையும் தீர்க்க பின்வரும் நிலைகளைப் பின்பற்றவும்:
- கேள்வியைப் பகுப்பாய்வு செய்தல்: கொடுக்கப்பட்ட நிபந்தனைகளை முதலில் பட்டியலிடுங்கள்.
- கட்டுப்பாடுகளைக் கண்டறிதல்: "மீண்டும் மீண்டும் வரக்கூடாது" (Without repetition) அல்லது "மீண்டும் வரலாம்" (With repetition) என்ற நிபந்தனைகளை கவனியுங்கள்.
- சரியான சூத்திரத்தைத் தேர்வு செய்தல்: வரிசை முக்கியமா என்பதை உறுதி செய்து P அல்லது C சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துங்கள்.
- சரிபார்த்தல்: சிறிய எண்களை வைத்து உங்களது தர்க்கம் சரியாக உள்ளதா என்று ஒருமுறை சரிபார்க்கவும்.
6. போட்டித் தேர்வுக்கான முக்கிய குறிப்புகள் மற்றும் எடுத்துக்காட்டுகள்
போட்டித் தேர்வுகளில் அடிக்கடி கேட்கப்படும் 'வார்த்தைகளை வரிசைப்படுத்துதல்' கணக்குகளுக்கு, எழுத்துக்களின் எண்ணிக்கையைக் கவனிக்க வேண்டும். ஒரு வார்த்தையில் உள்ள எழுத்துக்கள் மீண்டும் வந்தால், அதைத் தொகுதியின் எண்ணிக்கையால் வகுக்க வேண்டும்.
எடுத்துக்காட்டு: "APPLE" என்ற வார்த்தையில் உள்ள எழுத்துக்களை எத்தனை வழிகளில் அடுக்கலாம்?
மொத்த எழுத்துக்கள் = 5. 'P' இரண்டு முறை வருகிறது.
விடை = 5! / 2! = 120 / 2 = 60 வழிகள்.
- nC0 = 1
- nC1 = n
- nCn = 1
- nCr = nCn-r (இந்தத் தரம் கணக்கீட்டை வேகப்படுத்தும்)
7. அன்றாட வாழ்வில் எண்ணுதல்
முறைப்படுத்தப்பட்ட பட்டியல் என்பது வெறும் தேர்வுக்கான பாடம் மட்டுமல்ல. ஒரு உணவகத்தில் மெனு கார்டில் உள்ள உணவுகளைத் தேர்ந்தெடுப்பது, ஒரு அலுவலகத்தில் பணியாளர்களைக் குழுக்களாகப் பிரிப்பது, தொலைபேசி எண்களை உருவாக்குவது என அனைத்திலும் இந்த எண்ணுதல் கொள்கைகளே மறைந்துள்ளன. நீங்கள் எவ்வளவு அதிகமாகப் பயிற்சி செய்கிறீர்களோ, அவ்வளவு விரைவாக விடையைக் கண்டறியும் திறன் உங்களுக்குக் கிடைக்கும்.
8. முடிவுரை
எண்ணுதல் என்பது தர்க்கரீதியான சிந்தனையை வளர்க்கும் ஒரு கலை. அடிப்படை விதிகளைத் தெளிவாகப் புரிந்துகொண்டு, ஒவ்வொரு கணக்கையும் சிறு சிறு பகுதிகளாகப் பிரித்து அணுகினால், எத்தகைய கடினமான வினாவையும் எளிதில் தீர்க்க முடியும். இந்தத் தொகுப்பில் கொடுக்கப்பட்டுள்ள சூத்திரங்களையும், குறிப்புகளையும் மீண்டும் மீண்டும் பயிற்சி செய்து, உங்கள் வேகத்தையும் துல்லியத்தையும் மேம்படுத்துங்கள்.