மீப்பெரு பொதுக் காரணி (HCF) மற்றும் மீச்சிறு பொது மடங்கு (LCM)
போட்டித் தேர்வுகளில் 'திறனறிவும் மனக்கணக்கு நுண்ணறிவும்' (Aptitude and Mental Ability) பகுதியில் மிக முக்கியமான தலைப்பு மீப்பெரு பொதுக் காரணி (HCF) மற்றும் மீச்சிறு பொது மடங்கு (LCM) ஆகும். இந்த பாடப்பகுதியை முழுமையாகப் புரிந்துகொள்வதன் மூலம், எளிதாக மதிப்பெண்களைப் பெற முடியும்.
1. அடிப்படை வரையறைகள்
மீப்பெரு பொதுக் காரணி (HCF - Highest Common Factor)
கொடுக்கப்பட்ட இரண்டு அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட எண்களைச் சரியாக வகுக்கக்கூடிய மிகப் பெரிய எண்ணே 'மீப்பெரு பொதுக் காரணி' ஆகும். இதனை 'மீ.பொ.வ' என்றும் அழைப்பர். இதற்கு 'Greatest Common Divisor' (GCD) என்ற பெயரும் உண்டு.
மீச்சிறு பொது மடங்கு (LCM - Least Common Multiple)
கொடுக்கப்பட்ட இரண்டு அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட எண்களால் சரியாக வகுபடக்கூடிய மிகச் சிறிய பொதுவான எண்ணே 'மீச்சிறு பொது மடங்கு' ஆகும். இதனை 'மீ.சி.ம' என்றும் அழைப்பர்.
- HCF என்றால் - வகுக்கும் எண்கள் (Factors).
- LCM என்றால் - மடங்குகள் (Multiples).
2. கணக்கிடும் முறைகள்
பகா காரணிப்படுத்துதல் முறை (Prime Factorization Method)
எண்களை அதன் பகா காரணிகளின் பெருக்கற்பலனாகப் பிரிப்பதன் மூலம் HCF மற்றும் LCM காணலாம்.
- உதாரணம்: 12 மற்றும் 18-ன் HCF மற்றும் LCM காணுதல்.
- 12 = 2 × 2 × 3 = 22 × 31
- 18 = 2 × 3 × 3 = 21 × 32
HCF காண: பொதுவான பகா காரணிகளின் மிகச்சிறிய அடுக்கைப் பெருக்க வேண்டும். (21 × 31 = 6).
LCM காண: அனைத்து பகா காரணிகளின் மிகப்பெரிய அடுக்கைப் பெருக்க வேண்டும். (22 × 32 = 4 × 9 = 36).
3. அடிப்படைத் தொடர்புகள் (முக்கிய சூத்திரம்)
எந்த இரு எண்களுக்கும் (a, b) அவற்றின் HCF மற்றும் LCM-க்கு இடையே ஒரு முக்கியமான தொடர்பு உள்ளது:
(a × b) = HCF × LCM
அதாவது, இரு எண்களின் பெருக்கற்பலன், அந்த எண்களின் மீ.பொ.வ மற்றும் மீ.சி.ம ஆகியவற்றின் பெருக்கற்பலனுக்குச் சமமாகும்.
- HCF = (a × b) / LCM
- LCM = (a × b) / HCF
4. பின்னங்களின் HCF மற்றும் LCM
பின்னங்களுக்கு HCF மற்றும் LCM காணும் போது பின்வரும் சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்த வேண்டும்:
- பின்னங்களின் HCF = (தொகுதிகளின் HCF) / (பகுதிகளின் LCM)
- பின்னங்களின் LCM = (தொகுதிகளின் LCM) / (பகுதிகளின் HCF)
5. தேர்விற்கான மாதிரி வினாக்கள் மற்றும் தீர்வுகள்
வினா 1: இரண்டு எண்களின் விகிதம் 3:4 மற்றும் அவற்றின் HCF 4 எனில், அதன் LCM என்ன?
தீர்வு: எண்கள் 3x மற்றும் 4x என்க. HCF = x = 4. எனவே எண்கள் 12 மற்றும் 16.
சூத்திரம்: LCM = (12 × 16) / 4 = 12 × 4 = 48.
வினா 2: மூன்று எண்கள் 1:2:3 என்ற விகிதத்தில் உள்ளன. அவற்றின் HCF 12 எனில், அந்த எண்கள் யாவை?
தீர்வு: எண்கள் 1x, 2x, 3x. இங்கு x = HCF = 12.
எனவே எண்கள்: 12, 24, 36.
6. தசம எண்களின் HCF மற்றும் LCM
தசம எண்களைக் கையாளும் போது, முதலில் அவற்றை முழு எண்களாக மாற்ற வேண்டும் (உதாரணமாக 100-ஆல் பெருக்கி). பிறகு HCF/LCM கண்டுபிடித்து, மீண்டும் தசம புள்ளி வைக்க வேண்டும்.
7. போட்டித் தேர்வுக்கான முக்கிய டிப்ஸ்
- இரு பகா எண்களின் HCF எப்போதும் 1 ஆகும்.
- இரு பகா எண்களின் LCM அவற்றின் பெருக்கற்பலன் ஆகும்.
- எப்போதும் LCM ஆனது HCF-ஆல் மீதியின்றி வகுபடும்.
- வகுபடும் மீதியைத் தரும் கணக்குகளில்: (எண் - மீதி) செய்த பிறகு HCF காண வேண்டும்.
8. நடைமுறை உதாரணம் (Real-life Application)
மூன்று மணி கோபுரங்கள் முறையே 10, 15, 20 நிமிடங்களுக்கு ஒருமுறை ஒலிக்கின்றன. அவை அனைத்தும் காலை 8 மணிக்கு ஒன்றாக ஒலித்தால், மீண்டும் எப்போது ஒன்றாக ஒலிக்கும்?
தீர்வு: இதற்கு 10, 15, 20-க்கு LCM காண வேண்டும்.
10 = 2 × 5
15 = 3 × 5
20 = 22 × 5
LCM = 22 × 3 × 5 = 4 × 3 × 5 = 60 நிமிடங்கள்.
எனவே, மீண்டும் 60 நிமிடங்கள் (1 மணி நேரம்) கழித்து, அதாவது காலை 9 மணிக்கு ஒலிக்கும்.
9. பகா எண்களின் அட்டவணை (Quick Reference)
| எண் வகை | விளக்கம் | உதாரணம் |
|---|---|---|
| பகா எண் (Prime) | 1 மற்றும் அதே எண்ணால் மட்டுமே வகுபடும் | 2, 3, 5, 7, 11 |
| பகு எண் (Composite) | ஒன்றிற்கு மேற்பட்ட காரணிகளைக் கொண்டது | 4, 6, 8, 9, 10 |
10. தேர்வுக்கான இறுதிச் சுருக்கம்
மீப்பெரு பொதுக் காரணி மற்றும் மீச்சிறு பொது மடங்கு தலைப்பில் தேர்வில் கேட்கப்படும் வினாக்கள் பெரும்பாலும் விகிதாச்சாரம், நேர மேலாண்மை (மணி கோபுரங்கள்), மற்றும் மீதி வரும் கணக்குகளைச் சுற்றியே அமையும். மேலே உள்ள சூத்திரங்களையும், பகா காரணிப்படுத்தும் முறையையும் நன்கு பயிற்சி செய்தால் 100% மதிப்பெண்களைப் பெறலாம்.
தினமும் குறைந்தது 5 வினாக்களைத் தீர்த்துப் பார்ப்பது உங்கள் வேகத்தை அதிகரிக்கும். குறிப்பாக சூத்திரங்களை மனப்பாடம் செய்யாமல், அதன் பின்னணியில் உள்ள தர்க்கத்தைப் புரிந்துகொள்ளுங்கள்.