வர்க்கம் மற்றும் வர்க்கமூலம் (Squares and Square Roots)

கணிதத்தில் ஒரு எண்ணின் வர்க்கம் மற்றும் வர்க்கமூலம் என்பது அடிப்படை மற்றும் மிக முக்கியமான தலைப்பாகும். போட்டித் தேர்வுகளில் நேரத்தை மிச்சப்படுத்த இந்த தலைப்பில் உள்ள நுணுக்கங்களை அறிந்துகொள்வது அவசியம். இந்த பாடப்பகுதியில் வர்க்கம் மற்றும் வர்க்கமூலம் என்றால் என்ன, அவற்றை எவ்வாறு விரைவாகக் கணக்கிடுவது என்பதை விரிவாகக் காண்போம்.

1. வர்க்கம் (Square) - விளக்கம்

ஒரு எண்ணை அதே எண்ணால் பெருக்கும்போது கிடைக்கும் விடையே அந்த எண்ணின் 'வர்க்கம்' எனப்படும். ஒரு எண் 'n' எனில், அதன் வர்க்கம் n² எனக் குறிக்கப்படும்.

உதாரணமாக:

2² = 2 × 2 = 4
5² = 5 × 5 = 25
12² = 12 × 12 = 144

நினைவில் கொள்ள வேண்டிய குறுக்குவழி (Shortcut): 1 முதல் 30 வரையிலான எண்களின் வர்க்கங்களை மனப்பாடம் செய்து வைத்திருப்பது போட்டித் தேர்வுகளில் மிக வேகமான கணக்கீட்டிற்கு உதவும்.

வர்க்கம் காணும் எளிய முறைகள்

பெரிய எண்களின் வர்க்கத்தைக் காண சில எளிய வழிகள் உள்ளன:

முடிவில் 5 கொண்ட எண்கள் (எ.கா: 35, 75, 95): இவற்றை வர்க்கப்படுத்த, கடைசி இலக்கமான 5-க்கு 25 என எழுத வேண்டும். முன் உள்ள எண்ணை அதன் அடுத்த எண்ணால் பெருக்க வேண்டும்.
உதாரணம்: 35²
3 × (3+1) = 3 × 4 = 12
விடை: 1225
(a+b)² சூத்திரம்: (a+b)² = a² + 2ab + b²
உதாரணம்: 42²
a=4, b=2
4² | 2×4×2 | 2² = 16 | 16 | 4 = 1764

2. வர்க்கமூலம் (Square Root)

ஒரு எண்ணின் வர்க்கமூலம் என்பது, எந்த எண்ணை அதே எண்ணால் பெருக்கினால் அந்த எண் கிடைக்குமோ, அந்த எண்ணாகும். இது √ என்ற குறியீட்டால் குறிக்கப்படுகிறது.

உதாரணமாக: √144 = 12 (ஏனெனில் 12 × 12 = 144).

வர்க்கமூலம் காணும் முறைகள்

காரணிப்படுத்துதல் முறை (Factorization Method): எண்ணை பகா எண்களாகப் பிரித்து, ஜோடி ஜோடியாகத் தேர்ந்தெடுத்து வர்க்கமூலம் காணுதல்.
நீள் வகுத்தல் முறை (Long Division Method): பெரிய எண்களுக்கு இந்த முறை மிகவும் பயனுள்ளதாக இருக்கும்.

முக்கிய குறிப்பு: ஒரு வர்க்க எண்ணின் கடைசி இலக்கம் எப்போதும் 0, 1, 4, 5, 6, 9 ஆகிய எண்களில் மட்டுமே முடியும். 2, 3, 7, 8 ஆகிய எண்களில் ஒரு வர்க்க எண் முடியாது. இதை வைத்து ஆப்ஷன்களை எளிதாக நீக்கலாம்.

3. போட்டித் தேர்வுக்கான முக்கிய அட்டவணை

எண் (n)	வர்க்கம் (n²)	எண் (n)	வர்க்கம் (n²)
1	1	11	121
2	4	12	144
3	9	13	169
4	16	14	196
5	25	15	225

4. வர்க்கமூலம் காணும் வித்தைகள் (Tricks)

ஒரு முழு வர்க்க எண்ணின் வர்க்கமூலத்தை வினாடிகளில் கண்டறிய பின்வரும் படிகளைப் பின்பற்றவும்:

உதாரணம்: √5329

கடைசி இரண்டு இலக்கங்களைப் பிரிக்கவும்: 53 | 29
கடைசி இலக்கம் 9 எனில், விடையின் கடைசி இலக்கம் 3 அல்லது 7 ஆக இருக்கும்.
முதல் பகுதி 53. இதற்கு முந்தைய முழு வர்க்கம் 49 (7²). எனவே விடையின் முதல் இலக்கம் 7.
7-க்கு அடுத்த எண் 8. 7 × 8 = 56.
இங்கே 53 என்பது 56-ஐ விடச் சிறியது. எனவே சிறிய எண்ணைத் தேர்ந்தெடுக்கவும் (3).
விடை: 73.

5. தசம எண்களின் வர்க்கமூலம்

தசம எண்களுக்கு வர்க்கமூலம் காணும்போது, தசமப் புள்ளிகளுக்குப் பின் உள்ள இலக்கங்களின் எண்ணிக்கையை சரிபார்க்க வேண்டும். வர்க்கமூலம் எடுத்த பிறகு, தசமப் புள்ளிகளின் எண்ணிக்கை பாதியாகக் குறைய வேண்டும்.
எ.கா: √0.0025 = 0.05

6. வர்க்கமூலத்தில் மீதி வரும் கணக்குகள்

சில நேரங்களில் "எந்த மிகச்சிறிய எண்ணைக் கூட்டினால் அது முழு வர்க்கமாகும்?" என்ற வினாக்கள் கேட்கப்படும். இதற்கு நீள் வகுத்தல் முறையைப் பயன்படுத்தி, வரும் மீதியைக் கொண்டு கணக்கிட வேண்டும்.

தேர்வு நுட்பம்: கேள்வியில் கொடுக்கப்பட்ட எண் ஒரு முழு வர்க்கமா எனச் சோதிக்க, அதன் இலக்கங்களின் கூடுதல் (Digital Root) 1, 4, 7, 9 ஆக இருக்க வேண்டும். இது 2, 3, 5, 6, 8 ஆக இருந்தால், அது முழு வர்க்கம் அல்ல.

7. பயிற்சி வினாக்கள் மற்றும் தீர்வுகள்

வினா 1: √1024-ன் மதிப்பு என்ன?

தீர்வு: 1024-ல் கடைசி இலக்கம் 4. எனவே விடை 2 அல்லது 8-ல் முடியும். 30² = 900, 40² = 1600. இது 30-க்கும் 40-க்கும் இடையில் உள்ளது. 32² அல்லது 38²-ஐச் சரிபார்க்கவும். 32² = 1024. விடை: 32.

வினா 2: 0.9-ன் வர்க்கமூலம் என்ன?

தீர்வு: √0.9 = √0.90 = 0.948 (தோராயமாக).

8. முடிவுரை

வர்க்கம் மற்றும் வர்க்கமூலம் தலைப்பில் தேர்ச்சி பெற தினசரி பயிற்சி அவசியம். மேலே கொடுக்கப்பட்டுள்ள எளிய முறைகள் மற்றும் குறுக்கு வழிகளைப் பயன்படுத்தி, வினாத்தாளில் கொடுக்கப்படும் பெரிய எண்களையும் மிக எளிதாகக் கையாள முடியும். அடிப்படைகளை வலுவாக வைத்துக்கொள்வதே வெற்றியின் முதல் படி.