இயற்கணித முற்றொருமைகள் (Algebraic Identities)
இயற்கணிதம் என்பது கணிதத்தின் ஒரு மிக முக்கியமான பிரிவாகும். இதில் எண்களுக்குப் பதிலாக மாறிகளை (Variables - x, y, a, b) பயன்படுத்தி கணக்கீடுகள் செய்யப்படுகின்றன. இயற்கணித முற்றொருமைகள் என்பது இயற்கணிதக் கோவைகளில் உள்ள மாறிகளுக்கு எந்த மதிப்பை வழங்கினாலும், அந்தச் சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களும் சமமாக இருக்கும் ஒரு சமநிலையாகும். இவை சிக்கலான கணக்குகளை எளிமையாகவும் வேகமாகவும் தீர்க்க உதவுகின்றன.
அடிப்படை இயற்கணித முற்றொருமைகள்
போட்டித் தேர்வுகளில் அடிக்கடி கேட்கப்படும் முக்கியமான முற்றொருமைகளை முதலில் நாம் விரிவாகப் பார்ப்போம். இவை இயற்கணிதத்தின் 'அடிப்படைக் கற்கள்' என்று அழைக்கப்படுகின்றன.
- (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
- (a - b)2 = a2 - 2ab + b2
- a2 - b2 = (a + b)(a - b)
- (x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab
(a + b)2 மற்றும் (a - b)2 ஆகிய இரண்டையும் கூட்டும் போது: (a+b)2 + (a-b)2 = 2(a2+b2)
இவற்றைக் கழிக்கும் போது: (a+b)2 - (a-b)2 = 4ab
இந்த இரண்டு முடிவுகளும் போட்டித் தேர்வுகளில் பெரிய எண்களின் வர்க்கங்களைக் கணக்கிட நேரத்தைச் சேமிக்க உதவும்.
முற்றொருமைகளின் பயன்பாடுகள்
முற்றொருமைகளை வெறும் வாய்ப்பாடுகளாக மட்டும் பார்க்காமல், அவற்றை எண்களின் பெருக்கலுக்கு எப்படிப் பயன்படுத்தலாம் என்று பார்ப்போம். உதாரணமாக, 1022 என்ற எண்ணின் மதிப்பை எளிதாகக் காண (100 + 2)2 என்ற முற்றொருமையைப் பயன்படுத்தலாம்.
எடுத்துக்காட்டு 1: வர்க்கம் காணுதல்
1022 = (100 + 2)2
இங்கு a = 100, b = 2 என்று கொண்டால், a2 + 2ab + b2 சூத்திரப்படி:
= 1002 + 2(100)(2) + 22
= 10000 + 400 + 4 = 10404.
முப்படி முற்றொருமைகள் (Cubic Identities)
அதிக மதிப்பெண் பெற முப்படி முற்றொருமைகளைத் தெரிந்துகொள்வது அவசியம். இவை பெரும்பாலும் போட்டித் தேர்வுகளில் கேட்கப்படும் கடினமான வினாக்களுக்குத் தீர்வாக அமைகின்றன.
- (a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b)
- (a - b)3 = a3 - b3 - 3ab(a - b)
- a3 + b3 = (a + b)(a2 - ab + b2)
- a3 - b3 = (a - b)(a2 + ab + b2)
ஒருவேளை (a + b + c) = 0 என்றால், a3 + b3 + c3 = 3abc என்பது மிக முக்கியமான தேர்வு விதியாகும்.
கணிதப் பயிற்சி அட்டவணை
| முற்றொருமை | காரணிப்படுத்தல் வடிவம் |
|---|---|
| (a + b)2 | (a + b)(a + b) |
| (a - b)2 | (a - b)(a - b) |
| a2 - b2 | (a + b)(a - b) |
| a3 + b3 | (a + b)(a2 - ab + b2) |
| a3 - b3 | (a - b)(a2 + ab + b2) |
காரணிப்படுத்துதல் (Factorization)
இயற்கணிதக் கோவைகளை அவற்றின் பெருக்கற் காரணிகளாகப் பிரிப்பதே காரணிப்படுத்துதல் ஆகும். இதற்கு முற்றொருமைகள் மிகவும் துணைபுரிகின்றன. உதாரணமாக, x2 - 9 என்ற கோவையை காரணிப்படுத்த, a2 - b2 = (a + b)(a - b) என்ற சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்த வேண்டும். இங்கு 9 என்பதை 32 என எழுதினால், (x + 3)(x - 3) என்று விடை கிடைக்கும்.
போட்டித் தேர்வு உத்திகள்
இயற்கணிதக் கேள்விகளைத் தீர்க்கும்போது, முழுமையாகத் தீர்க்காமல் 'மதிப்புப் பிரதியிடல்' (Substitution Method) முறையைப் பயன்படுத்தலாம். மாறிகளுக்கு சிறிய மதிப்புகளை (எ.கா: x = 1, y = 2) பிரதியிட்டு, கொடுக்கப்பட்ட கோவையின் மதிப்பைச் சரிபார்க்கலாம். இது விடையை விரைவாகக் கண்டறிய உதவும்.
படி-படியாகத் தீர்க்கும் முறை
- கொடுக்கப்பட்ட கணக்கின் வகையை அடையாளம் காணுங்கள் (வர்க்கமா அல்லது முப்படியா?).
- சரியான முற்றொருமையைத் தேர்ந்தெடுங்கள்.
- மாறிகளுக்குப் பதிலாக எண்களைப் பிரதியிடும்போது குறியீடுகளில் (Signs) கவனம் செலுத்துங்கள்.
- முடிவுகளைச் சுருக்கி இறுதி விடையைக் கண்டறியுங்கள்.
எப்போதும் (a+b)2 மற்றும் (a-b)2 விரிவுபடுத்தலில், கடைசி உறுப்பு (b2) எப்போதும் நேர்மறையாகவே (+) இருக்கும் என்பதை நினைவில் கொள்ளுங்கள். மாணவர்கள் பெரும்பாலும் இந்த இடத்தில் குறியீடு பிழை செய்கிறார்கள். இதைத் தவிர்த்தாலே 90% பிழைகளைக் குறைக்கலாம்.
முடிவுரை
இயற்கணித முற்றொருமைகள் கணிதத்தின் அடிப்படை மட்டுமல்ல, அவை தர்க்கரீதியான சிந்தனையை மேம்படுத்தும் கருவிகள். மேலே குறிப்பிட்டுள்ள சூத்திரங்களை தினமும் எழுதிப் பார்ப்பதும், அவற்றைப் பயன்படுத்தி எண்களின் வர்க்கம் மற்றும் கனங்களைக் கணக்கிடுவதும் தேர்வில் வெற்றியை உறுதி செய்யும்.